Замечание.
Число R из третьего утверждения теоремы называется радиусом сходимости степенного ряда, а интервал Ради единообразия, понятие радиуса сходимости сохраняется и для других случаев. В первом случае полагают Отыскание радиуса сходимости степенного ряда Пусть дан степенной ряд (2) Th 1. Пусть все
если эти пределы существуют. □ Рассмотрим степенной ряд, составленный из модулей
По Th 2 из предыдущего параграфа при Исследуем, ряд (5) с помощью признака Деламбера.
Ряд (5) сходится, если Ряд (5) расходится, если Сравнивая с условием (6) получаем формулу (3). Исследуем, ряд (5) с помощью признака Коши.
Ряд (5) сходится, если Ряд (5) сходится, если Сравнивая с условием (6) получаем формулу (4). ■ I
I
I
I
|
- интервалом абсолютной сходимости степенного ряда.
, во втором 
.
, тогда для радиуса сходимости R степенного ряда (2) справедливы формулы
, (3)
, (4)
(5)
ряд сходится, при 
- расходится. (6)
.
, то есть если 
, то есть 
.
, то есть если 
, то есть 
.
.
, то есть если 
, то есть 
.
, то есть если 
, то есть 
.
. Здесь R=1, 
- интервал абсолютной сходимости. При 
и при 
ряд расходится 
. Здесь R=1, 
- область сходимости ряда.
. Здесь R=1, 
- область сходимости ряда.
. Здесь R=1, 
- область сходимости ряда.
