Численные методы безусловной оптимизации первого порядка

Минимизация функций многих переменных. Градиентом дифференцируемой функции f(x) в точке х [0] называется n -мерный вектор f(x [0] ), компоненты которого являются частными производными функции f(х), вычисленными в точке х [0], т. е.

f'(x [0] ) = (дf(х [0] )/дх ₁, …, дf(х [0])/ дх_n)^T.

Этот вектор перпендикулярен к плоскости, проведенной через точку х [0], и касательной к поверхности уровня функции f(x), проходящей через точку х [0].В каждой точке такой поверхности функция f(x) принимает одинаковое значение. Приравнивая функцию различным постоянным величинам С₀, С₁,..., получим серию поверхностей, характеризующих ее топологию

Вектор-градиент направлен в сторону наискорейшего возрастания функции в данной точке. Вектор, противоположный градиенту (-f’(х [0] )), называется антиградиентом и направлен в сторону наискорейшего убывания функции. В точке минимума градиент функции равен нулю. На свойствах градиента основаны методы первого порядка, называемые также градиентным и методами минимизации. Использование этих методов в общем случае позволяет определить точку локального минимума функции.

Очевидно, что если нет дополнительной информации, то из начальной точки х [0] разумно перейти в точку х [1], лежащую в направлении антиградиента - наискорейшего убывания функции. Выбирая в качестве направления спуска р [ k ] антиградиент - f’(х [k] ) в точке х [ k ], получаем итерационный процесс вида

х [ k+ 1] = x [ k ]- a_kf'(x [k] ), а_k > 0; k =0, 1, 2,...

В координатной форме этот процесс записывается следующим образом:

x_i [ k +1]= х_i [ k ] - a_k f(x [k] ) / x_i

i = 1,..., n; k = 0, 1, 2,...

В качестве критерия останова итерационного процесса используют либо выполнение условия малости приращения аргумента || x [ k +l] - x [ k ] || <= , либо выполнение условия малости градиента

|| f’(x [ k +l] ) || <= ,

Здесь  и  - заданные малые величины.

Возможен и комбинированный критерий, состоящий в одновременном выполнении указанных условий. Градиентные методы отличаются друг от друга способами выбора величины шага а_k.

(1-10-1/3) Математическая постановка и методы решения задач нелинейного программирования. Теорема Куна – Таккера. Примеры задач нелинейного программирования

(1-10-2/3)

(1-10-3/3)

(1-8-5/5)

При методе с постоянным шагом для всех итераций выбирается некоторая постоянная величина шага. Достаточно малый шаг а_k обеспечит убывание функции, т. е. выполнение неравенства

f(х [ k +1] ) = f(x [k] – a_kf’(x [k] )) < f(x [k] ).

Однако это может привести к необходимости проводить неприемлемо большое количество итераций для достижения точки минимума. С другой стороны, слишком большой шаг может вызвать неожиданный рост функции либо привести к колебаниям около точки минимума (зацикливанию). Из-за сложности получения необходимой информации для выбора величины шага методы с постоянным шагом применяются на практике редко.

Более экономичны в смысле количества итераций и надежности градиентные методы с переменным шагом, когда в зависимости от результатов вычислений величина шага некоторым образом меняется. Рассмотрим применяемые на практике варианты таких методов.

Если векторная оптимизация осуществляется с использованием обобщенного критерия, то реализуются обычно следующие процедуры:

Выполняется обоснование способа свертки частных критериев в обобщенный критерий.

Учитывается важность частных критериев.

Векторные оценки приводятся к безразмерному виду.

Для всех конкурирующих решений вычисляются обобщенные скалярные оценки.

Определяется область компромисса, содержащая парето-оптимальные решения (т.е. такие решения, когда улучшения состояния по каждым из критериев ухудшает состояние по другим критериям).

Выбирается рациональное решение в области компромиссов с учетом системы предпочтений ЛПР.

(1-9-1/4) Математическая постановка и методы решения задач линейного программирования. Примеры задач линейного программирования

 

(1-9-2/4)

 

(1-11-1/4) Математическая постановка и методы решения задач динамического программирования. Примеры задач динамического программирования

Пусть имеется объект, способный развиваться во времени, переходя от состояния к состоянию. Такой объект будем называть динамической системой. Множество всех возможных состояний динамической системы будем назы- вать пространством состояний динамической системы или фазовым пространством (фаза - состояние).

 

(1-11-2/4)

 

 

(1-11-4/4)

(1-11-3/4)

(1-9-4/4)

(1-9-3/4)

(1-13-1/7) Математическая постановка и методы решения задач стохастического программирования. Примеры квалиметрических задач, относящихся к задачам стохастического программирования

Оптимизационные задачи, при постановке которых нет исчерпывающих данных об их условиях, называют стохастическими. Для исследования описанных ситуаций разрабатываются специальные методы, объединяемые в разделе математического программирования, называемом стохастическим программированием. Стохастическое программирование изучает теорию и методы решения условных экстремальных задач при неполной информации об условиях задач.

Различают пассивное и активное стохастическое программирование. Пассивное стохастическое программирование — это совокупность приемов, позволяющих находить наилучшие решения и экстремальные значения целевых функций в оптимизационных задачах со случайными исходными данными.

Активное стохаотическое программирование — это совокупность приемов, позволяющих развивать методы выбора решений в условиях риска и неопределенности.

В стохастическом программировании исследуются одно-, двух- и многоэтапные задачи.

Одноэтапными называют задачи, в которых последовательность поступления исходной информации не имеет значения при выборе решения, оно принимается один раз и в дальнейшем не корректируется. Такие задачи могут порождаться детерминированными оптимизационными задачами, когда исходные данные теряют определенность и приобретают случайный характер. В одноэтапных задачах по-разному выбираются целевая функция и характер ограничений. В качестве целевой функции может рассматриваться вероятность попадания решения в некоторую, вообще говоря, случайную область или математическое ожидание некоторой функции от решения. В одних случаях ограничения задачи могут удовлетворяться при всех возможных значениях случайных параметров (жесткая постановка). В других случаях требуется, чтобы вероятность попадания решения в допустимую область была не меньше данного числа (модель с вероятностными ограничениями). В каждой конкретной задаче приходится специально оговаривать, что называть планом и оптимальным планом.

При усреднении параметров условий задачи может быть нарушена адекватность модели изучаемому явлению. Оптимальный план детерминированной задачи с усредненными параметрами не всегда удовлетворяет условиям задачи при различных возможных комбинациях параметров ограничений. Этот прием применяют лишь для приближенного решения стохастической задачи.

На практике чаще других встречаются двухэтапные стохастические задачи. Подобные задачи возникают, например, при планировании выпуска продукции в случае, когда отсутствуют данные о спросе на нее. В такой ситуации сначала принимается предварительное решение об объеме выпуска на основе имеющейся информации (1-й этап), затем после установления спроса принимается корректирующее решение (2-й этап). При этом предварительное решение не должно исключать возможность его коррекции на втором этапе. Кроме того, предварительный и корректирующий планы согласовывают так, чтобы обеспечивались минимальные средние затраты за оба этапа.

В многоэтапных (динамических) задачах по мере получения информации о развивающемся процессе имеется возможность неоднократно корректировать решение, учитывая исходные ограничения и априорные статистические характеристики случайных параметров, описывающих процесс на каждом этапе. Многоэтапные задачи могут быть как с жесткими, так и с вероятностными ограничениями.

 

(1-13-2/7)

 

(1-13-3/7)

 

 

(1-13-4/7)

 

(1-13-5/7)

 

 

(1-13-6/7)

 

 

(1-13-7/7)

(1-19-1/1) Системные принципы управления объектами

Объект управления подвержен воздействию различных внешних возмущений, вследствие чего управляемая величина отклоняется от заданного значения. Задачей устройства управления является обеспечение соответствия управляемой величины заданному значению путем передачи на ОУ необходимого управляющего воздействия.

Управление по заданному воздействию. Существуют САУ, управляющие только по заданному воздействиюпредставляющему в этом случае команды программы. Такое управление называют жестким, так как при этом не учитываются действительные значения управляемой величины и возмущающего. Подобные САУ дают удовлетворительное качество управления лишь при высокой стабильности параметров САУ и внешней среды и при невысоких требованиях к точности. По структуре эти САУ являются разомкнутыми, так как не имеют обратной связи по управляемому параметруи не образуют замкнутого контура управления.

Управление по возмущению основано на принципе компенсации возмущений и является исторически первым принципом автоматического управления. Управляемый параметр не изменяется, а используется информация о внешнем воздействии. При этом сначала выясняют, какое возмущающее воздействие является основным, а затем устанавливают, как необходимо менять значение управляемого параметра при изменении данного возмущающего воздействия, для того чтобы значение его поддерживать постоянным. Достоинство — имеется возможность полной компенсации возмущения. Недостаток — в случае преобладания неконтролируемых возмущенийэтот способ не дает требуемой точности.

Управление по отклонению. Более высокое качество управления позволяет получить замкнутые САУ, в которых используется информация об управляемой величинеи задающем воздействии. Сначала измеряется, затем это значение сравнивается с заданным и при наличии разности вырабатывается управляющее воздействие, направленное в сторону уменьшения сигнала рассогласования. При этом устройство управления стремится компенсировать отклонение независимо от причин, вызвавших это отклонение. Такое управление можно назвать гибким, так как при этом учитывается действительное состояние объекта управления. Информация обпередается в устройство управления, образуя контур главной обратной связи. Данный принцип иногда называют компенсационным принципом Ползунова—Уатта. Он является основным для большинства современных САУ. Недостатки — затруднено управление, возникающее при разработке быстродействующих систем управления, особенно для сложных инерционных объектов. Стремление повысить точность работы такой системы и увеличить коэффициент усиления приводит к потере устойчивости. Решение — в комбинированном управлении.

Комбинированное управление. САУ, в которых используется информация одновременно о трех воздействиях называют комбинированными. Комбинированные САУ имеют более высокое качество управления, чем системы, работающие только по отклонению, так как информация о значении возмущающего воздействияпозволяет устройству управления работать с предвидением, т. е. начинать компенсацию внешнего возмущения, нарушающего нормальную работу объекта управления, раньше, чем возникнет достаточно большое отклонение. Одновременно это дает возможность повысить точность и быстродействие системы.

 

(1-13-1/7) Методология системного подхода в исследованиях (понятие системы: сущность и основные принципы; фазовые координаты; целевые функции; иерархические структуры; декомпозиция; многомерные показатели эффективности; случаи отсутствия общей меры; показатели эффективности с координатами различной природы, критерии оценок; оценки и сравнения альтернатив)

Система - объективное единство закономерно связанных друг с другом предметов, явлений, а также знаний о природе и обществе.

Система есть совокупность или множество связанных между собой элементов.

Элементы системы могут представлять собой понятия, в этом случае мы имеем дело с понятийной системой (инструмент познания).

Система - это совокупность живых и неживых элементов либо тех и других вместе.

Существует несколько десятков определений этого понятия. Их анализ показывает, что определение понятия система изменялось не только по форме, но и по содержанию.

Система - это полный, целостный набор элементов, взаимосвязанных между собой так, чтобы могла реализовываться функция системы.

Отличительным свойством системы является ее целостность. Комплекс объектов, рассматриваемых в качестве системы, представляет собой некоторое единство, целостность, обладающую общими свойствами и поведением.

Система проявляется как целостный материальный объект, представляющий собой закономерно обусловленную совокупность функционально взаимодействующих элементов. Основные свойства системы проявляются через целостность, взаимодействие и взаимозависимость процессов преобразования вещества, энергии и информации, через ее функциональность, структуру, связи, внешнюю среду и пр.

Как и любое фундаментальное понятие, система конкретизируется в процессе рассмотрения ее основных свойств.

Можно выделить четыре основных свойства:

- система есть, прежде всего, совокупность элементов, которые при определенных условиях могут рассматриваться как системы;

- наличие существенных связей между элементами и (или) их свойствами, превосходящих по мощности (силе) связи этих элементов с элементами не входящими в данную систему. Под существенными связями понимаются такие, которые закономерно, с необходимостью определяют интегративные свойства системы. Указанное свойство отличает систему от простого конгломерата и выделяет ее из окружающей среды;

- наличие определенной организации, что проявляется в системе энтропии (системе неопределенности, хаоса), системы по сравнению с энтропией системообразующих факторов, определяющих возможность создания системы, число существенных связей, которыми может обладать элемент, число квантов пространства и времени;

- существование интегративных свойств, т.е. присущих системе в целом, но не свойственных ни одному из ее элементов в отдельности. Их наличие показывает, что свойства системы хотя и зависят от свойств элементов, но не окружают их полностью. Т.е. система не сводится к простой совокупности элементов, и, расчленяя систему на отдельные части, нельзя познать все свойства системы в целом.

В самом общем случае понятие «система» характеризуется:

- наличием множества элементов;

- наличием связей между ними;

- целостным характером данного устройства или процесса.

Принцип - это обобщенные опытные данные, это закон явлений, найденный из наблюдений. Наиболее часто к системным причисляют следующие принципы:

1. конечной цели - имеет следующие правила:

- для проведения СА необходимо, в первую очередь, сформулировать цели исследования;

- анализ следует вести на базе первоочередного уяснения основной цели (функции основного назначения) системы, что позволит определить ее основные существенные свойства, показатели качества и критерии оценки;

- при синтезе систем любая попытка изменения должна оцениваться относительно того, помогает или мешает она достижению конечной цели,

 

 

(1-12-2/7)

- цель функционирования искусственной системы задается, как правило, системой, в которой исследуемая система является составной частью.

2. измерения - о качестве функционирования какой-либо системы можно судить только применительно к системе более высокого порядка, т.е. для определения эффективности функционирования надо представить ее как часть более общей и проводить оценку внешних исследуемой системы относительно целей и задач надсистемы

3. эквифинальности - система может достигнуть требуемого конечного состояния, независимо от времени и определяемого исключительно собственными характеристиками системы при различных начальных условиях и различными путями. Это форма устойчивости по отношению к начальным и граничным условиям

4. единства - это совместное рассмотрение системы как целого и как совокупность частей (элементов). Принцип ориентирован на «взгляд внутрь» системы, на расчленение ее с сохранением целостных представлений о системе

5. связности - рассмотрение любой части совместно с ее окружением подразумевает проведение процедуры выявления связей между элементами системы и выявление связей (учет внешней среды). В соответствии с этим принципом систему, в первую очередь, следует рассматривать как часть (элемент, подсистему) другой системы, называемой подсистемой;

6. модульного построения - выделение модулей в системе и рассмотрение ее как совокупности модулей. Принцип указывает на возможность вместо части системы исследовать совокупность ее входных и выходных воздействий (абстрагироваться от излишней детализации) (учебный план, модули)

7. иерархии - введение иерархии частей и их ранжирование упрощает порядок рассмотрения систем и, как следствие, разработку системы;

8. функциональности - совместное рассмотрение структуры и функций с приоритетом функций над структурой. Принцип утверждает, что любая структура тесно связана с функцией системы и ее частей. При придании системе новых функций полезно пересматривать ее структуру, а не пытаться втиснуть новую функцию в старую схему. Поскольку выполняемые функции составляют процессы, то целесообразно рассматривать отдельно: процессы, функции, структуры. В свою очередь, процессы сводятся к анализу потоков различных видов:

- материальный,

- энергии,

- информации (энтропия, негэнтропия), смена состояний.

9. развития - это учет изменяемости системы, ее способности к развитию, адаптации, расширению, замене частей, накапливанию информации. В основу систематизированной системы требуется закладывать возможность развития, наращивания, усовершенствования;

10. децентрализации - это сочетание в сложных системах централизованного управления;

11. неопределенности - это учет неопределенностей и случайностей в системе.

Фазовые координаты – переменные, которые составляют вектор х (х(1), х(2),… х(n)), определяющий многомерное с размерностью n поле переменных, на котором изучается функционирование исследуемой системы

Часто для принятия решения необходимо получить аксиологическое описание проблемы - выражение, связывающее цель со средствами ее достижения. Такие выражения получили в разных прикладных направлениях различные названия: критерий функционирования, критерий или показатель эффективности, целевая или критериальная функция, функция цели и т. п.

В зависимости от изученности проблемной ситуации возможны различные подходы к формированию целевой функции.

- если удается получить выражение, связывающее цель со средствами, то задача практически всегда решается.

- если закон не известен, то стараются определить закономерности на основе статистических исследований или исходя из наиболее часто встречающихся на практике функциональных зависимостей.

- если не удается установить закономерность, то выбирают или разрабатывают теорию, в которой содержится ряд утверждений и правил, позволяющих сформулировать концепцию и конструировать на ее основе процесс принятия решения.

 

(1-12-3/7)

- если и теории не существует, то выдвигается гипотеза и на ее основе создаются имитационные модели, с помощью которых исследуются возможные варианты решения.

Иерархия - это соподчиненность, любой согласованный по подчиненности порядок объектов.

Группа закономерностей иерархической упорядоченности систем тесно связана с закономерностью целостности; кроме того, большое внимание направлено на взаимодействие системы с ее окружением, со средой, надсистемой, с подчиненными системами.

К этой группе закономерностей относятся коммуникативность и иерархичность.

Любая система не изолирована от других систем, но связана множеством коммуникаций с окружающей средой, которая представляет собой сложное и неоднородное образование, содержащее:

- надсистему (систему более высокого порядка, задающую требования и ограничения рассматриваемой системе);

- элементы или подсистемы (нижележащие, подведомственные системы);

- системы одного уровня с рассматриваемой.

Такое сложное единство системы со средой названо закономерностью коммуникативности. В силу закономерности коммуникативности каждый уровень иерархической упорядоченности имеет сложные взаимоотношения с вышестоящим и нижележащим уровнями. Отсюда следует, что каждый уровень иерархии как бы обладает свойством:

- по отношению к нижележащему уровню, вышестоящий имеет характер автономного целого — системы;

- по отношению к вышестоящему уровню, нижележащий проявляет свойства зависимой части — элемента вышестоящей системы.

Закономерность иерархичности заключается в том, что любую систему можно представить в виде иерархического образования. При, этом на всех уровнях иерархии действует закономерность целостности. Более высокий иерархический уровень объединяет элементы нижестоящего и оказывает на них направляющее воздействие. В результате подчиненные члены иерархии приобретают новые свойства, отсутствовавшие у них в изолированном состоянии. А возникшее в результате объединения нижестоящих элементов новое целое приобретает способность осуществлять новые, в чем и состоит цель образования иерархий.

Использование иерархических представлений оказывается полезным в случае исследования систем и проблемных ситуаций с большой неопределенностью. При этом происходит как бы расчленение «большой» неопределенности на более «мелкие», лучше поддающиеся исследованию. Даже если эти мелкие неопределенности не удастся полностью раскрыть и объяснить, то все же иерархическое упорядочение частично снимает общую неопределенность и обеспечивает, по крайней мере, более эффективное управляющее решение.

Декомпозиция (анализ): разделить целое на части, не теряя свойств целого.

Условия оценки эффективности систем для неопределенных операций можно представить в виде таблицы

В зависимости от характера неопределенности операции могут делиться на игровые и статистические неопределенные.

В игровых операциях неопределенность вносит своими сознательными действиями противник. Условия статистически неопределенных операций зависят от объективной действительности, называемой природой. В этом случае применяется теория статистических решений.

 

(1-12-4/7)

Единого критерия оценки эффективности для неопределенных операций не существует. Разработаны лишь общие требования к

(1-12-4/7) критериям оценки и выбора оптимальных систем. Основными требованиями являются:

- оптимальное решение не должно меняться с перестановкой строк и столбцов матрицы эффективности;

- оптимальное решение не должно меняться при добавлении тождественной строки или столбца к матрице эффективности;

- оптимальное решение не должно меняться от добавления постоянного числа к значению каждого элемента матрицы эффективности;

- оптимальное решение не должно становиться неоптимальным и наоборот в случае добавления новых систем, среди которых нет ни одной более эффективной системы;

- если система и оптимальны, то вероятностная смесь этих систем тоже должна быть оптимальна.

В зависимости от характера предпочтений ЛПР наиболее часто в неопределенных операциях используются критерии:

а) среднего выигрыша;

б) Лапласа;

в) осторожного наблюдателя (Вальда);

г) максимакса;

д) пессимизма-оптимизма (Гурвица);

е) минимального риска.

а) критерий среднего выигрыша.

(1-12-5/7)

О критерии Сэвиджа можно сказать, что в нем по сравнению с критерием Вальда придается несколько большее значение выигрышу, чем проигрышу.

Таким образом, эффективность систем в неопределенных операциях может оцениваться по целому ряду критериев. На выбор того или иного критерия оказывает влияние ряд факторов:

- природа конкретной операции и ее цель;

- причины неопределенности;

- характер лица, принимающего решения.

При оценке качества систем целесообразно ввести несколько уровней качества, проранжированных в порядке возрастания сложности рассматриваемых свойств.

Эмпирические уровни качества получили названия: общая устойчивость, помехоустойчивость, управляемость, свойства, самоорганизация.

 

(1-12-6/7)

Система, обладающая качеством данного порядка имеет и все другие простые качества, но не имеет качеств более высокого порядка.

Первичным качеством любой системы является ее устойчивость. Для простых систем устойчивость объединяет такие свойства как прочность, стойкость к внешним воздействиям, сбалансированность, стабильность, гомеостазис. Для сложных систем характерны различные формы структурной устойчивости, такие как надежность, живучесть и т. д.

Более сложным качеством, чем устойчивость, является помехоустойчивость – способность системы без искажений воспринимать и передавать информационные потоки. Помехоустойчивость объединяет ряд свойств, присущих в основном системам управления. К таким свойствам относятся: надежность информационных систем и систем связи, их пропускная способность, возможность эффективного кодирования (декодирования) информации, электромагнитная совместимость и т. п.

Следующим по сложности качеством является управляемость – способность системы переходить за конечное время в требуемое состояние под влиянием управляющих воздействий. Управляемость обеспечивается, прежде всего, наличием прямой и обратной связей, объединяет такие свойства системы, как гибкость управления, оперативность, точность, быстродействие, инерционность, связность, наблюдаемость объекта управления и др. Для сложных систем управляемость включает в себя способность принятия решений по формированию управляющих воздействий.

Следующим уровнем по шкале качеств являются свойства – это качество системы, определяющее ее возможности по достижению требуемого результата на основе имеющихся ресурсов за определенное время. Данное качество определяется такими свойствами как результативность, ресурсоемкость, эффективность – способность получить требуемый результат при идеальном способе использования ресурсов и в отсутствии воздействий внешней среды.

Наиболее сложным качеством системы является самоорганизация – способность системы для повышения эффективности изменять свою структуру, параметры, алгоритмы функционирования, поведения. Принципиально важными свойствами этого являются свобода выбора решений, адаптивность, самообучаемость, способность к распознаванию ситуаций и др.

Введение уровней качества позволяет ограничить исследование одним из перечисленных уровней. Для простых систем часто это исследование устойчивости.

Уровень качества выбирает исследователь в зависимости от сложности системы, целей анализа, наличия информации, условий работы системы.

Наиболее важные и принципиальные свойства системы можно классифицировать не только по уровню сложности, но и по тому, как они характеризуют процесс функционирования (поведение) системы.

В общем случае функциональные свойства системы оцениваются в двух аспектах:

– исход (результат) функционирования;

– «алгоритм», обеспечивающий получение результатов.

Качество исхода и «алгоритм», обеспечивающие получение результатов, оцениваются по показателям качества, которые вводятся с учетом конкретных особенностей системы и условий ее функционирования.

К основным укрупненным показателям качества функционирования систем относят: результативность, ресурсоемкость и оперативность.

Результативность характеризуется получаемым в результате целевым эффектом – результатом, ради которого функционирует система.

Ресурсоемкость отражает ресурсы всех видов используемые для получения целевого эффекта.

Оперативность есть измеритель расхода времени, потребного для достижения цели.

Оценка исхода функционирования системы учитывает, что операция проводится для достижения определенной цели – исхода операции. Под исходом операции понимается ситуация, возникающая на момент ее завершения. Для количественной оценки исхода операции вводится понятие показателя исхода ее (ПИО).

(1-12-7/7)

Оценка «алгоритма» функционирования является ведущей при оценке эффективности системы, т. к. нужные результаты могут быть получены только при условии хорошего «алгоритма».

В совокупности результативность, ресурсоемкость и оперативность порождают комплексное свойство: эффективность процесса – степень его приспособленности к достижению цели.

Выбор критерия эффективности – центральный, самый ответственный момент исследования системы.

Конкретный физический смысл показателей эффективности определяется характером и целями операций, а также качеством реализующей ее системы и внешними воздействиями.

Процесс выбора критерия эффективности, как и процесс определения цели, является в значительной мере субъективным, творческим, требующим в каждом отдельном случае индивидуального подхода.

Конкретный физический смысл показателей эффективности определяется характером и целями операции, а также качеством реализующей ее системы и внешними воздействиями.

В зависимости от типа систем и внешних воздействий операции могут быть детерминированными, вероятностными или неопределенными. В соответствии с этим выделяют три группы показателей и критериев эффективности:

- показатели и критерии эффективности функционирования систем в известных условиях, если ПИО отражают один строго определенный исход детерминированной операции;

- показатели и критерии эффективности функционирования систем в условиях риска, если ПИО являются дискретными или непрерывными случайными величинами с известными законами распределения;

- показатели и критерии эффективности функционирования систем в условиях неопределенности, если ПИО являются случайными величинами, законы, распределения которых неизвестны.

В теории полезности исходят из того, что критерий эффективности предназначен для выявления порядка предпочтений на альтернативах, что позволяет обеспечить обоснованный выбор решений.

Выявить формально отношение предпочтения или безразличия непосредственным сравнением альтернатив трудно: показатели исходов операции многочисленны, имеют разный физический смысл и разные шкалы измерений. Деньги тоже не выступают универсальной мерой ценности. Вводится искусственная мера, которая определяется через полезность альтернатив. Чаще всего это действительное число, приписываемое исходу операции и характеризующее его предпочтительность по сравнению с другими альтернативами относительно цели.

Зная возможные альтернативы с их показателями полезности, можно построить функцию полезности, которая дает основу для сравнения и выбора решений.

Функцию полезности называют прямой, если чем больше значение показателя исхода операции, тем он полезнее, и обратной, если больше значение показателя исхода операции, тем он менее полезен.

Определение полезности как меры оценки того или иного исхода операции представляет сложную задачу, точные методы решения которой пока не найдены.

Операции, выполняемые в условиях риска, называются вероятностными.

Кроме операции «в среднем» рассмотренной выше используются и другие критерии оценки систем:

– максимум вероятности случайного события;

– минимум среднего квадрата уклонения результата от требуемого;

– минимум дисперсии результата;

– минимум среднего (байесовского) риска;

– максимум вероятностно–гарантированного результата.