Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
Вычисление тройного интеграла сводится к вычислению трехкратного интеграла.
В декартовых координатах область V, правильная в направлении оси OZ, записывается системой неравенств где D – это проекция области V на плоскость XOY, а поверхности Если двумерную область D также записать системой неравенств Тогда тройной интеграл сводится сначала к двойному, а затем к трёхкратному с учётом того, что в декартовых координатах dV = dx × dy × dz; формула сведения тройного интеграла к трехкратному интегралу имеет следующий вид:
Существует всего 6 вариантов сведения тройного интеграла к трехкратному в декартовых координатах (в зависимости от выбранного порядка интегрирования). Пример 1 (вычисление тройного интеграла в декартовых координатах) Вычислить Решение
Сводим тройной интеграл к трехкратному по формуле (1) в соответствии с системой неравенств и вычисляем трехкратный интеграл:
|
,
и 
ограничивают область V соответственно снизу и сверху (Рис. 6).
, то трехмерная область V запишется системой трех неравенств 
, где область V ограничена поверхностями 
.
.
Требуется вычислить данный интеграл в новых координатах u, v, w. Взаимосвязь старых и новых координат описывается соотношениями:
Предполагается, что выполнены следующие условия:
1. Функции φ, ψ, χ непрерывны вместе со своими частными производными;
2. Существует взаимно-однозначное соответствие между точками области интегрирования U в пространстве xyz и точками области U' в пространстве uvw;
3. Якобиан преобразования I (u,v,w), равный
отличен от нуля и сохраняет постоянный знак всюду в области интегрирования U.
Тогда формула замены переменных в тройном интеграле записывается в виде:
на плоскость Oxy и осью Ox; θ − угол отклонения радиуса-вектора 
, где переменная s представляет собой длину дуги кривой (рисунок 1). Если на кривой C определена скалярная функция F, то интеграл 
называется криволинейным интегралом первого рода от скалярной функции F вдоль кривой C и обозначается как
Криволинейный интеграл 
существует, если функция F непрерывна на кривой C.
