Формула Грина связывает двойной интеграл по плоской области с криволинейным интегралом по контуру этой области.
Пусть функции P(x,y), Q(x,y), P'y(х,у), Q'x(х,у) непрерывны в замкнутой области D, ограниченной контуром L (рис. 3.6). Пусть контур L, кроме того, пересекается прямыми, параллельными осям координат, не более чем в двух точках. Пусть уравнение АСВ есть y = y1(x) при a ≤ x ≤ b, и уравнение АКВ есть y = y2(x) при a ≤ x ≤ b.
Преобразуем двойной интеграл:
здесь символ Аналогично получается
Вычитая из формулы (3.9) формулу (3.8), получаем формулу Грина
|
означает криволинейный интеграл по замкнутому контуру L.
не зависит от пути интегрирования, если P, Q и R являются непрерывными функциями в области интегрирования D и в этой области существует скалярная функция 
, такая, что
В этом случае криволинейный интеграл второго рода от функции 
вдоль кривой C от точки A до точки B выражается формулой
(Здесь можно увидеть аналогию с формулой Ньютона-Лейбница для определенных интегралов.) Таким образом, если криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, то для любого замкнутого контура C справедливо соотношение
Векторное поле, обладающее свойством 
, называется потенциальным, а функция 
Предполагается, что каждый компонент функции 
В этом случае признак потенциальности векторного поля упрощается и принимает вид
Рассмотренный признак является необходимым, но, вообще говоря, не достаточным для потенциальности поля. Данное условие достаточно, если только область интегрирования D односвязна.
