НАЧАЛА ИНСТРУМЕНТАЛЬНОГО СЧЁТАМожно принять участие только в рамках Недели Добра в компании. Ночной автобус выезжает 5 раз в неделю в будние дни. В один рейс может отправиться только два сотрудника компании. Экипаж рейса: водитель, волонтер-мужчина, два волонтера-девушки. О желании поехать с Ночным автобусом необходимо сообщить за две недели до поездки. Поход в музей, театр, на экскурсию с жильцами приюта: В любое время. О желании выехать с жителями приюта, необходимо сообщить за месяц до планируемой даты.
Контактное лицо: Виктория Рыжкова, координатор проектов СПББОО "Ночлежка" 8-911-838-42-68 http://vkontakte.ru/ryzhkova_victoria https://www.facebook.com/victoria.ryzhkova
Контактное лицо: Виталий Князев.
НАЧАЛА ИНСТРУМЕНТАЛЬНОГО СЧЁТА
Счёт, или более широко вычисления, могут быть выполнены в различной форме: существует устный, письменный и инструментальный счёт (вычисления). Средства для инструментального счёта в разные времена называли по-разному: счётные доски, абаки, счёты, счётные инструменты, снаряды, приспособления, приборы, машины и, наконец, примерно с середины нашего столетия – вычислительные машины. Рассмотрим краткую историю развития средств инструментальных вычислений; как говорил Г. В. Лейбниц, «Кто хочет ограничиться настоящим без знания прошлого, тот никогда не поймёт его». Древнейшим «счётным инструментом», который сама природа предоставила в распоряжение человека, была его собственная рука. «Понятие числа и фигуры, - пишет Ф. Энгельс, - взято не откуда-нибудь, а только из действительного мира. Десять пальцев, на которых люди учились считать (производить первую арифметическую операцию), представляют собой все, что угодно, только не продукт свободного творческого разума». От пальцевого счёта берут начало пятеричная система счисления (одна рука), десятичная (две руки), двадцатеричная (пальцы рук и ног). В гомеровской «Одиссее» часто встречается слово «пятерить», имеющее по смыслу значение «считать» и свидетельствующее о распространении в гомеровскую эпоху пальцевого счёта. Полное описание пальцевого счёта составил в средневековой Европе ирландский монах Беда Достопочтенный (около 673-735 гг.). Среди его трудов есть трактат «О счислении». В нём подробно излагаются способы счёта на пальцах, причём этот счёт распространялся на все числа вплоть до миллиона. Трактат Беды явился источником, откуда средневековые составители учебников арифметики в течение многих лет черпали свои сведения о пальцевом счёте. Наряду со способами простого подсчёта на пальцах отдельных предметов в этих учебниках излагаются сведения о выполнении арифметических операций с помощью пальцев рук. Издревле употреблялся ещё один вид инструментального счёта – с помощью деревянных палочек (бирок) с зарубками. Впервые упоминание о способе записи чисел путём нанесения зарубок встречается на барельефе храма фараона Сети I (1350 г. до н.э.) в Абидосе. Здесь изображён бог Тот, отмечающий с помощью зарубок на пальмовой ветви длительность срока правления фараона. В средние века в России, как и в остальной Европе, бирками пользовались для учёта и сбора налога. Бирка разрезалась на две продольные части, одна из которых оставалась у крестьянина, другая – у сборщика налогов. По зарубкам на обеих частях и вёлся счёт уплаты налога, который проверяли складыванием частей бирки. В Англии, например, этот способ записи налогов существовал до конца XVII столетия. Другие народы (китайцы, индийцы, американские индейцы) использовали для представления чисел верёвки с узелками.
Абак, Суан-пан, Счеты…
Раннему развитию письменного счёта препятствовали два обстоятельства. Во-первых, в первоначальных системах счисления письменные вычисления были сложными. Чтобы убедиться в этом, советуем перемножить CLVI x LXXIV, пользуясь римской системой счисления. Во-вторых, не было материала, на котором удобно производить письменные вычисления: пергамент был изобретён лишь в V веке до н.э., бумага – в начале нашей эры. Этими обстоятельствами можно объяснить появление специального счётного прибора, известного в древности под названием абака. Происхождение термина абак не установлено. Большинство историков производят его от семитического корня; согласно этому толкованию абак означает дощечку, покрытую слоем пыли. В своей примитивной форме абак действительно представлял собой такую дощечку. На ней острой палочкой проводили линии, и в получившихся колонках по позиционному принципу размещали какие-нибудь предметы, например камешки или палочки. Впоследствии абак претерпел ряд изменений. В результате замены камешков косточками или шариками, нанизанными на нити или прутья, получили счёты, суан-пан, соробан; в других странах стали использовать разлинованную таблицу со счётными жетонами (счёт на линиях); всё это – разновидности абака. Посмотрим, как выполняются арифметические операции на абаке при десятичной системе счисления. На рисунке 1 показана последовательность выполнения сложения 258 + 54. Вычитание выполняется изъятием камешков, умножение – как повторное сложение, деление – как повторное вычитание.
2 5 8 2 10 12 2 11 2 3 1 2 Рис. 1
Известно свидетельство историка Геродота (Vвек до н.э.), что египтяне пользуются абаком, причём в отличие от греков передвигают камешки не слева направо, а сверху вниз. Отсюда видно, что даже в эпоху Геродота и в Греции, и в Египте абак получил широкое распространение. Историки полагают, что в Грецию абак был завезен финикийцами и стал там «походным инструментом» греческого купца. О коммерческом назначении абака свидетельствует то обстоятельство, что значения, приписываемые камешками в различных колонках, обычно сообразовывались с отношениями различных денежных единиц. В Древнем Риме абак назывался calculi или abaculi. Римский абак изготовляли из камня, бронзы, слоновой кости или цветного стекла. Слово calculus означает «галька», «голыш». От этого слова произошло в дальнейшем латинское calculatore (вычислять) calculus (исчисление) и наше – калькуляция. Сохранился бронзовый римский абак, на котором calculi передвигались в вертикально прорезанных желобках. Внизу помещали камешки для счёта до пяти, а верхней части имелось отделение для камешка, соответствующего пятёрке. В китайской книге VI века нашей эры описан прибор, состоящий из укреплённых на доске параллельных верёвок, на каждой из которых надето 5 косточек, причём последняя имеет другой цвет и означает 5 единиц – китайская разновидность абака, суан-пан. Современный тип суан-пана появился не раньше XII столетия. Две части, на которые он делится перегородкой, носят названия «земля» и «небо». Шарик «земли» означает единицу, а шарик «неба» - 5 единиц. Японский соробан происходит от китайского суан-пана, который был завезен в Японию в XV-XVI веках. Соробан проще своего предшественника – на каждой проволочке и в каждом отделении у него на один шарик меньше, чем у суан-пана. Русские счёты в своей первоначальной форме появились примерно на рубеже XVI-XVII веков. Инструменты, о которых мы только что говорили, являются национальными и широко используются в своих странах до сих пор. Опытные счетоводы работают на этих инструментах со скорость, не уступающей скорости вычислений на настольных счётных машинах. В средневековой Европе распространение получили два типа абака. Один из них описал в своей книге французский учёный монах Герберт, немало сделавший для развития науки в мрачный период средневековья. Герберт занимался астрономией, логикой, философией и геометрией; он является автором нескольких математических сочинений, одно из которых «Правила вычисления с помощью абака», теологических трактатов и публицистических посланий. В описании Герберта абак представлял собой гладкую доску, посыпанную голубым песком и разделённую на 30 столбцов, из которых три отводились для дробей, а прочие группировались по три столбца в девять групп. Сверху в каждой группе обозначались (слева направо) буквами С (centum, 100),D (decem, 10) и S (singularis, 1) соответственно. В отличие от древних форм счётной доски в каждый столбец клали не камешки, а особые нумерованные жетоны (сделанные из рога) – «апексы», на которых были обозначены девять первых числовых знаков. Апекс с изображением нуля отсутствовал, поэтому для изображения нуля в соответствующий столбец жетона не клали. Таким образом, 27-рзрядное целое число на абаке представлялось как бы сгруппированным по три разряда. Замена камешков апексами не давала больших преимуществ для вычислений. Апексы имели иное значение в развитии математики: в них можно видеть ближайших предков современных европейских цифр. Значение книги Герберта состоит не только и не столько том, что он дал правила вычисления на абаке, которые несколько веков «питали» европейскую арифметическую культуру. Другой тип абака получил распространение с конца XV века. Он представляет собой горизонтальную разлинованную таблицу, на которой выкладываются специальные жетоны. Горизонтальные линии таблицы соответствуют единицам, десяткам, сотням и т.д. На каждую линию кладут до четырёх жетонов; жетон, помещённый между двумя линиями, означал пять единиц разряда ближайшей нижней. В вертикальном направлении доска расчерчивалась на несколько столбцов для отдельных слагаемых или множителей. Счётные таблицы употреблялись до конца XVIII века. В Нюрнберге, например, в XVI-XVII веках изготовлением металлических счётных жетонов занималась целая отрасль промышленности. Счётные таблицы отличались большим разнообразием, начиная от специальных столов и кончая платками и ковриками. Цифры на апексах были первым появлением арабско-индийских цифр в Европе. Первой книгой по арифметике, в которой эти цифры употреблялись уже систематически, была ''Liber abaci" Леонардо Фибоначчи из Пизы, впервые изданная в 1202 году. Начиная с неё, новые цифры постепенно получали все более широкое распространение, проникая в счетоводство торговых домов. В XV веке разгорелась борьба между сторонниками счёта на абаке (абацистами) и сторонниками счёта на линиях (алгоритмиками), который под воздействием использования арабско-индийских цифр быстро стал развиваться в сторону современных алгоритмов письменного счёта. Не удивительно поэтому, что широкое распространение бумаги, изобретённой в XII-XIII веках, сделало ненужным абак и обеспечило победу «алгоритмиков», хотя борьба продолжалась ещё несколько веков.
Джон Непер и его палочки
Я всегда старался, насколько позволяли мои силы и способности, избавиться от трудности и скуки вычислений, докучливость которых обыкновенно отпугивает очень многих от изучения математики. Д. Непер (1550 – 1617)
Начало XVII столетия знаменуются двумя замечательными достижениями инструментального счета. Оба они связаны, одно непосредственно, а другое косвенно, с именем великого шотландского ученого Джона Непера и направлены на то, чтобы упростить выполнение операций умножения и деления. Понятно, какое значение имело изобретение логарифмов. Великий физик, математик и астроном И. Кеплер писал тюбингемскому профессору математики Вильгельму Шиккарду: «…Некий шотландский барон, имени которого я не запомнил, выступил с блестящим достижением; он каждую задачу на умножение и деление превращает в чистое сложение и вычитание…». Этим шотландским бароном был Джон Непер, опубликовавший в 1614 году свой знаменитый трактат «Mirifici logarithmorum canonis descriptio» (Описание удивительных таблиц логарифмов). Джон Непер родился в 1550 году в фамильном замке Мэрчистон, близ Эдинбкрга, столицы Шотландии. В юности он отличался нелюдимым и застенчивым характером и не слишком крепким здоровьем. В 1563 году Джон поступает в колледж святого Спасителя в Сент Эндрюсе, где изучает грамматику, логику, теологию, каноническое и гражданское право, а также этику, физику и математику. С целью продолжения образования он проводит в Европе несколько лет – с 1566 по 1571год. В1572 году Джон Непер женился на Элизабет Стирлинг, которая умерла, оставив ему сына и дочь. Второй брак с Агнесс Чизхольм, дочерью крупного шотландского землевладельца, принес дому Неперов 5 сыновей и 5 дочерей. Большую часть своей жизни Непер провел в размышлениях и научных изысканиях, преимущественно в области математики. Но наиболее выдающимся своим трудом он считал книгу «Простое откровение св. Иоанна», вышедшую в 1593 году. В книге Непер, прибегая к числовой мистике, «научно» доказывает, что папа – антихрист, что Рим является Содомом и Гоморрой, что саранча, о которой говорится в Апокалипсисе, означает турок, и что конец мира наступит между 1688 и 1700 годами и т. д. С особым удовольствием Непер занимался вопросами сельского хозяйства, изобрел несколько полезных сельскохозяйственных орудий, таких как гидравлический насос для поливки сада Впрочем, Непер изобретал орудия и пострашней. Во время войны с Испанией он написал докладную записку, в которой описывал секретные изобретения следующего рода: -зеркало для поджигания вражеских кораблей на расстоянии; -устройство для плавания под водой с различными хитрыми приспособлениями для внезапного нападения на врага (подводная лодка?); -металлическую колесницу, легко и быстро движимую находящимися внутри воинами, которые поражали врага через маленькие отверстия в корпусе колесницы (танк?); -и, наконец, пушку, выстрел которой гарантировал гибель не менее 30 000 турок, а «христианам при этом никакого вреда не наносил» (истинно христианское оружие!) Достойными гения Непера были лишь его математические работы. Непер занимался наукой исключительно ради удовлетворения природной жажды знаний и неохотно отдавал свои труды в распоряжение печатного станка. Поэтому знаменитый трактат о логарифмах был напечатан только в 1614 году, хотя по многим свидетельствам Непер пришел к идее логарифма на 20 лет раньше, а первое математическое сочинение Непера «De arte logistica», посвященное некоторым вопросам тригонометрии, алгебры и арифметики, вышло в свет лишь в 1839 году. В 16717 году, незадолго до смерти Непера, увидело свет его последнее сочинение «Rabdolodie seu numerationis, per virgulas labriduo». В предисловии он, как бы извиняясь, говорит, что публикует книгу лишь по настоянию друзей. Значение термина rabdologie (от греческого Ραβδοσ – палка, прут) Непер объясняет как счет с помощью палочек. Эти палочки под названием «палочки Непера», как и сам метод, быстро получили широкое распространение в Европе и были одно время даже более популярны, чем логарифмы – главное изобретение Непера. Непер, вероятно, был знаком с приемом умножения, описанным в известном средневековом трактате Луки Пачоли «Сумма де арифметика» под названием gelosia (этот прием был знаком индийцам задолго до Пачоли). Суть его в следующем. Счетную доску или просто лист чистой бумаги расчерчивали в виде сетки прямоугольников, разделенных диагоналями. По сторонам сетки (сверху и справа) записывали сомножители, а промежуточные произведения помещали в прямоугольники так, чтобы диагональ разделяла «единицы» и «десятки» (обычно, «десятки» помещались в верхний треугольник, а «единицы» -- в нижний).). В качестве примера на рисунке 2 показано выполнение методом gelosia умножения 954 Î314 = 299 556 Верхняя строка таблицы – промежуточное произведение 954Î3; средняя строка – промежуточное произведение 954Î1; нижняя строка – промежуточное произведение 954Î4. Для получения произведения осуществляли суммирование «вдоль диагоналей», а результат записывали снизу сетки (младшие разряды) и слева от сетки (старшие разряды Цифры шести разрядов произведения 945Î314 получаются следующим образом: 2; (0+7+1); (3+9+0+5+1); (6+2+5+0+2); (0+1+4); 6 или 2, 8, (18), (15), 5, 6 или 2. 8+1=9; 8+1=9; 5; 5; 6 т. е. 299 556
Рис. 2 По мнению Пачоли, запись выкладок при этом методе напоминает решетчатые оконные ставни, скрывающие от взоров прохожих сидящих у окон женщин. Такие ставни называли gelosia (жалюзи) в связи с другим значением этого слова – ревность. Непер предложил разрезать «школьную» таблицу умножения на 10 полосок (включая и нулевую) и разделить числа диагональю на единицы и десятки, как в gelosia. Полоски наклеивались на деревянные палочки и использовались следующим образом (рис. 3).
Рис. 3 Если множитель многозначный, то отдельные произведения выписывали как обычно, со смешением на один разряд, а затем складывали. Для множимого, содержавшего несколько одинаковых цифр, приходилось иметь несколько одинаковых палочек. Поэтому Непер предложил выполнять палочки в виде прямоугольных параллелепипедов и наклеивать на них не одну, а 4 полоски (по одной на каждую грань) таким образом, чтобы первая палочка содержала полоски для 0, 1, 9, 8; вторая – для 0, 2, 9, 7; третья – для 0, 3, 9 и 6 и т. д. вплоть до 10-й, содержавшей полоски для 3, 4, 6 и 5. Таким образом каждая палочка имела на противоположных гранях полоски для некоторой цифры и ее дополнения до 9. С помощью палочек Непера можно было выполнять не только операции умножения, но и деления и извлечения квадратного корня. Пожалуй, ни одна идея в истории вычислительной техники не дала столько пищи изобретательным умам, как идея палочек Непера. В XVI и XVII столетиях в Европе появилось множество модификаций палочек Непера. В 1668 году вюртембергский иезуит Каспар Шотт предложил заменить палочки Непера цилиндрами, на поверхности которых вдоль образующих нанесены числа с палочек Непера. Цилиндры помещались параллельно друг другу в ящичке, где могли вращаться на проходящих через них осях. В 1678 году Пьер Пти, французский математик и физик, друг Паскаля, наклеил полоски бумаги с начерченными «палочками» на картонные ленты и заставил их двигаться вдоль оси цилиндра. Устройство получило название барабана Пти. В 1927 году замечательный немецкий механик и энциклопедист Якоб Лейпольд видоизменил барабан Пти, придав ему прямоугольную форму. Год спустя Михаил Фортиус предложил свой прибор, состоявший из ряда подвижных концентрических кругов все с теми же надписями. Этот список можно было бы продолжить, но мы упомянем одну из последних переработок. Это «Настольная таблица умножения для сложных вычислений, по Неперу переработал Б. Ф. Тихомиров», изданная в Ленинграде в 1930 году Изобретение логарифмов, которое по словам Лапласа, «сократив труды астронома, удвоило его жизнь», послужило основой для изобретения замечательного вычислительного инструмента, более 350 лет служившего инженерам всего мира, -- логарифмической линейки.
Предшественники и концептуалисты
Первые конструкторы механических калькуляторов
Блез Паскаль (19.061623-1662гг.) рано начал заниматься математикой под руководством своего отца и 11годам проявлял настойчивый интерес к естественным наукам. Уже в 16лет он написал трактат»Опыт о конических сечениях».Одна из теорем, приведенных в данном трактате, до сих пор остается в числе основных теорем проективной геометрии и так и называется – теорема Паскаля. В 19 лет Блез Паскаль сформулировал концепцию калькулятора и в 1645 году представил его рабочую модель «Паскалину».В этой машине цифры идентифицировались углом поворота зубчатого колесика. Когда каждое колесико заканчивало свое вращение, оно в свою очередь сдвигало соседнее колесико на десятую часть вращения, таким образом происходило суммирование чисел. Машина, которая могла только складывать и вычитать, была основана на чрезвычайно точных, связанных между собой механизмах. Наиболее сложным механизмом было устройство переноса десятков, которое полным вращением одного колеса двигало одну цифру-зубец на колесе следующего более высокого разряда.. На этом принципе создавались механические калькуляторы все последующие 300 лет. Последние девять лет своей жизни он посвятил Богу и писал различные трактаты на религиозные темы Более 300 лет считалось, что автором первого калькулятора является Блез Паскаль. В 1957 году директор Кеплеровского научного центра доктор Гаммер обнаружил несколько писем профессора Тюбенгенского университета Вильгельма Шиккарда Кеплеру, в которых описывалось устройство счетной машины, названной Шиккардом «часами для счета».Письма датировались 1623 годом. Вильгельм Шиккард (1592-1636) появился в Тюбенге в 1617 году как профессор кафедры восточных языков местного университета. В том же году он вступает в переписку с Кеплером и рядом немецких, французских, итальянских и голландских ученых по вопросам астрономии. Заметив в 25-летнем ученом незаурядные математические способности, Кеплер настоятельно советует ему заняться математикой. Последовав этому совету, Шиккард достиг больших успехов на новом поприще и в 1631 году занял кафедру математики и астрономии. В 1636 году Шиккард и его семья погибли от чумы. Труды ученого были забыты в смутное время Тридцатилетней войны. Следуя найденным Гаммером материалам, ученые Тюбенгенского университета в начале 60-х годов построили действующую модель машины Шиккарда. Кроме суммирующего механизма, в машине Шиккарда имелось множительное устройство, расположенное в верхней, вертикальной, части машины, и представлявшие собой неперовские палочки, свернутые в цилиндр. Документы говорят, что Паскаль в своей «паскалине» идеи Шиккарда не использовал. Некоторые элементы, например, способ ввода чисел в машину, у Шиккарда и Паскаля идентичны, однако основной узел машины – механизм передачи десятков – выполнен у Шиккарда значительно проще и надежнее. Справедливости ради, необходимо отметить, что и машина Шиккарда не была первой. Это обнаружилось в 1967 году, когда в Национальной библиотеке Мадрида были найдены два тома неопубликованных рукописей Леонардо да Винчи. Среди чертежей первого тома имелся эскиз 13-разрядного суммирующего устройства с 10 зубчатыми колесами. Построенная механиками фирмы IBM в наше время по найденному эскизы машина оказалась работоспособной.
|
