Независимых переменных, варьируемых на двух. уровнях (планирование типа 22)

уровнях (планирование типа 2²)

 

 

Легко видеть, что все возможные комбинации для двух факторов, варьируемых на двух уровнях, будут исчерпаны, если мы поставим четыре опыта так, как это показано в табл. 3. Эта таблица называется матрицей планирования. В первом столбце таблицы приведены значения фиктивной переменной x₀ = 1; во втором и третьем столбцах – значения переменных х₁ и x₂ (эти два столбца образуют собственно планирование); в четвертом столбце записано значение произведения ; наконец, пятый столбец не относится непосредственно к матрице планирования – это вектор значений результатов наблюдений. Первая строка таблицы соответствует первому опыту, в котором обе независимые переменные х₁ и х₂ находятся на нижнем уровне. Во втором опыте первая независимая переменная х₁ находится на верхнем уровне, вторая х₂ – на нижнем, и т. д.

Пользуясь таким планированием, можно вычислить коэффициенты регрессии неполного квадратного уравнения:

 

 

в этом случае число опытов будет равно числу оцениваемых параметров – у нас не останется степеней свободы для проверки нуль-гипотезы об адекватном представлении результатов эксперимента выбранной математической моделью. Если есть основания полагать, что изучаемый процесс в заданном интервале варьирования переменных может быть описан линейной моделью, то можно воспользоваться методом наименьших квадратов для определения трех коэффициентов регрессии – одна степень свободы останется для проверки гипотезы адекватности.

Перейдем к рассмотрению экспериментов с тремя независимыми переменными , варьируемыми также только на двух уровнях. Чтобы исчерпать все возможные комбинации трех факторов, варьируемых на двух уровнях, нужно поставить восемь опытов, планируя эксперимент так, как это показано в табл. 4.

Здесь введены два дополнительных упрощения в системе обозначений: символы + 1 и – 1 обозначены просто знаками «+» и «–» и добавлен новый столбец с условными обозначениями строк с помощью малых латинских букв и одной цифры. Буквы а, b, с обозначают, что в соответствующих строчках на уровне + 1 был только один из факторов x₁, х₂, x₃; произведение двух букв ab, bc,... обозначает, что в соответствующих строчках на верхних уровнях было два фактора: произведение трех букв abc указывает на то, что на верхнем уровне были все три фактора; наконец, символ (1) означает, что все факторы были на нижних уровня х. С помощью такого кодового обозначения матрица планирования, представленная в табл. 2, может быть записана одной строкой:

 

 

Аналогичным образом, матрица планирования для табл. 3. запишется строкой:

 

Таблица 4