Седловой точке соответствует пара стратегий сторон (Аi,Вj), которые являются оптимальными.

Совокупность этих стратегий называется решением игры в чистых стратегиях,в случае α ≠ β.

Смешанные стратегии – такие, которые получаются путем случайного чередования чистых стратегий.

Смешанные стратегии стороны А обозначают:

s*A (P1, P2 …Pm) (18.2)

P1, P2, Pm –вероятности, с которыми применяются стратегии А1,А2…Аm соответственно.

∑Pi = 1

i=1

s*B (q1,q2…qn) (18.3)

∑i = qi = 1

j=1

Смешанные стратегии в результате дают пару оптимальных стратегий s*A и s*B и применительно к игре “2 х 2”.

P1 = a22 - a21 )

 

(a 11 + a22) – (a12+ a21)

P2=1-P1 (18.4)

q1= a22 - a12

(a 11+ a22) – (a12+ a21)

q2 =1-q1 (18.5)

 

В этом случае чистая цена игры γ:

γ = a22 *a21 - a12 *a21

(a 11 + a22) – (a12+ a21)

Игра “2 х 2” имеет решение, которое можно получить в геометрической интерпретации.

Правила графического представления результатов игры:

1) На отрезке оси абцисс, длина которого =1 обозначим стратегию А1, а на правом – А2.

В промежуточной точке участка обозначаются смешанные стратегии стороны А.

2) Через точки А1, А2 проводят перпендикуляры к оси Х

Оси I, I и II, II.

На оси I, I откладывают выигрыши, при стратегии А1.

На оси II, II выигрыши при стратегии А2.

3) Стратегия противника В1 дает на осях I, I, II, II точки с координатами a11 и a21; А стратегия В2 - a12 и a22.

4) Ордината точки N пересечения стиратегий В1 и В2 дает величину выигрыша γ – цену игры.

 

Абцисса точки N дает вероятность обеих стратегий P1 и P2, которые равны расстоянию от точки s*A до правого и левого конца отрезка А1 и А2 соответственно. Нижняя (гарантированная) граница выигрыша выделена жирной линией.

I II

В2 В1

N

 

a12

γ a21

a11 a22

 

I А1 P2 s*A P1 А2 II

 

Задача

Банк хочет купить акции некоторого А.О.; стремясь сделать покупку выгоднее банк снабжает А.О. информацией, которая может восприниматься:

правдивой - А1 и ложной - А2.

А.О. может как проверить информацию - В1, так и не проверить – В2.

В такого класса задачах платежные матрицы игры обычно отражают величину прироста стоимости для успешной сделки для банка по отношению к вложенным средствам.

Платежная матрица:

 

Банк	продавец	А.О.	αi
В1	В2
А1	О,608(a11)	1,0(a12)	0,608
А2	1,0(a21)	0,44(a22)	0,44
βj	1,0	1,0

 

Требуется выбрать такую стратегию банка, при которой результат будет максимально возможным и независим от действий А.О.

Примечание: Седловой точки в задаче нет, то есть α ≠ β, следовательно оптимальное решение в чистой стратегии не возможно.

Выбор в качестве решения хода А1, имеющего небольшую эффективность, дает неустойчивую стратегию, пригодную лишь в случае если второй игрок (А.О.) не располагает данными о выбранном решении первым игроком (банком).

Решение:

Для получения устойчивой стратегии первым игроком, удовоетворяющим требованиям задачи необходимо искать решение в смешанных стратегиях, в соответствии с формулами 18.4 – 18.6.

 

P1 = a22 - a21 = 0,44-1,0 =0,588

(a 11+ a22) – (a12+ a21) (0,8+0,44) – (1,0+1,0)

 

P2 = 1- P1 =0,412

Поскольку a12 = a21= P1=0,588, q1=0,58, q2=0,412.

По формуле 18.6 чистая цена γ, соответствующая активной стратегии будет равняться:

γ = a22 a21 - a12 a21 = 0,44*0,608 – 1,0*1,0 = 0,769

(a 11 + a22) – (a12+ a21) (0,608+0,44)-(1,0+1,0)

 

Когда все данные рассчитаны можно представить графическое отображение игры «2х2»:

I II

 

 

 

1 В2 В1 1

N

 

 

a12 a21

γ=0,769

a11=0,608 a22

 

 

I А1 P2=0,412 s*A P1=0,588 А2 II банк

 

 

s*A = (р1, р2)

s*В =(q1, q2)

Выводы: Поскольку между банком и А.О. имеют место противоречивые интересы (конфликт цен), то построенная матричная игра при ее решениии заставляет банк сообщить истинную цену акций акционерному обществу. В этом случае по результатам игры банк с вероятностью 0,588 получит максимально возможный результат в виде чистой цены =0,769.

Такая система доказательств менеджером необходимости выдачи сведений об истинной цене акций руководству банка позволяет ему при заключении сделки

“купли – продажи” товара (акций) провести переговоры с продавцом с существенной прибылью для банка.

Такие задачи, возникающие в процессе согласования менеджером цены при заключении сделки “купли – продажи” товара, он обязан решать привлекая инструмент матричных игр. Рассмотрим ещё один характерный пример деятельности предприятия на стадии его развития.