Решение. а) Вспомним теорему о полной вероятности

Если событие А может осуществляться только при выполнении одного из событий В ₁, В ₂ ,..., B_n, которые образуют полную группу несовместных событий, то P (A) вычисляется по формуле:

.

По условиям данной задачи, результат второго испытания (т.е. вынимание шаров из второй урны) зависит от того, какие шары были переложены из первой урны. Здесь возможны три случая:

B₁ = { оба шара белые },

B₂ = { оба шара черные },

B₃ = { один белый, один черный шар }.

Очевидно, что события B₁, B₂ и B₃ несовместны и образуют полную группу. Их вероятности равны

, , .

Условные вероятности события А={шары одного цвета}, равны

, , .

Применяя формулу полной вероятности, получим

.

 

б) Вспомним формулу Байеса:

.

По условиям данной задачи, результат До стрельбы возможны следующие предположения (гипотезы):

B1 = {оба стрелка не попали}, B2 = {оба стрелка попали}, B3 = {попал только первый стрелок}, B4 = {попал только второй стрелок},

P(B1) = 0,2×0,6 = 0,12, P(B1) = 0,8×0,4 = 0,32, P(B1) = 0,8×0,6 = 0,48, P(B1) = 0,2×0,4 = 0,08.

Эти события образуют полную группу несовместных событий. Пусть А – поражение мишени одним попаданием, тогда ее вероятность можно найти по формуле полной вероятности:

= 0,12×0+ 0,32×0+ 0,48×1+ 0,08×1 = 0,56.

Здесь учтено, что при осуществлении событий В₁ и В₂ событие А – невозможно, при осуществлении событий В₃ и В₄ событие А – достоверное. В результате, по формуле Байеса находим:

.

Задание 4. Решить задачи, используя формулу Бернулли и теоремы Муавра-Лапласа.

а) Вероятность изготовления на станке-автомате нестандартной детали равна 0,02. Какова вероятность того, что среди наудачу взятых шести деталей окажется более четырех стандартных?

б) Вероятность того, что сошедшая с конвейера деталь стандартная равна 0,9. Найти вероятность того, что из 400 сошедших с конвейера деталей: 1) 356 окажутся стандартными; 2) более 350 деталей окажутся стандартными.

Решение. а) Проведем n испытаний Бернулли, т.е. что все n испытаний независимы и вероятность появления события А в каждом отдельном взятом испытании постоянна и от испытания к испытанию не изменяется (т.е. испытания проводятся в одинаковых условиях). Обозначим вероятность P (A) появлений события А в отдельном испытании буквой p, т.е. P (A)= p, а вероятность противоположного события P () – буквой q, т.е. P () = 1– P (A) = 1– p = q. Вероятность P_n (m) того, что событие A появится ровно m раз в n испытаниях Бернулли равна

.

Это есть формула Бернулли.

По условию задачи, вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется нестандартным равна q =0,02. Вероятность того, что изделие окажется стандартным равна
p= 1– q =0,98. Поскольку эти вероятности постоянны и не изменяются от испытания к испытанию, то для подсчета вероятности можно применить формулу Бернулли. Появление более четырех стандартных изделий означает, что среди 6 взятых деталей окажутся 5 или 6 стандартных. Следовательно

= 5×0,98⁵×0,02¹ + 1×0,98⁶×0,02⁰» 0,9943.

б) Применим к случаю 1 локальную теорему Муавра-Лапласа: если в схеме Бернулли число испытаний n велико (обычно nt50), при этом npq ‡1, то справедлива приближенная формула

,

где , .

Ввиду важности функции j(x), которая называется плотностью стандартного нормального распределения, для нее составлены специальные таблицы. При использовании таблиц следует учитывать, что функция j(x) четная, т.е. j(– x)=j(x).

Согласно условию задачи: n =400, m =356, p =0,9, q =0,1. Поскольку n >100 и npq =36>10, то можно применить теорему Муавра-Лапласа. Найдем

.

После этого находим значение функции j(–0,6667)=0,31945. В результате, получаем

.

Применим теперь к случаю 2 локальную теорему Муавра-Лапласа: если в схеме Бернулли число испытаний n велико, то для вероятности P _n (k ₁£ m £ k ₂) того, что число успехов заключено в пределах от k ₁ до k ₂, справедливо приближенная формула

,

где , – функция Лапласа.

Отметим, что функция Лапласа – нечетная функция, т.е. Ф(– x) = –Ф(x), для которой составлены специальные таблицы. Обратите внимание, что 0£Ф(x)£0,5.

В нашем случае k ₁=300, k ₂=400:

, ,

Задание 5. Найти закон распределения дискретной случайной величины.

Дискретная случайная величина Х имеет только два возможных значения: x ₁ и x ₂, причем x ₁ < x ₂. Вероятность того, что Х примет значение x ₁ равно 0,6. Найти закон распределения Х, зная математическое ожидание М[ X ] = 1,4 и дисперсию D[ X ] = 0,24.

Решение. Сумма вероятностей всех возможных значений X равна единице, поэтому вероятность того p ₂, что X примет значение x ₂, равна 1–0,6=0,4. Запишем закон распределения дискретной случайной величины X:

X	x 1	x 2
P	0,6	0,4

Для отыскания x ₁ и x ₂ составим два уравнения. По определению

M[ X ] = = x ₁ p ₁+ x ₂ p ₂+... + x_np_n.

Учитывая, что по условию М[ X ] = 1,4, запишем первое из уравнений:

.

Принимая во внимание, что по условию D[ X ] = 0,24, и используя равенство

,

напишем второе уравнение:

, или .

В результате получается следующая система уравнений:

Выразив x ₁ из первого уравнения и подставив его во второе, получим квадратное уравнение

.

Отсюда находим два решения: и (отсюда получаем также, что и ). По условию , поэтому задаче удовлетворяет только первое решение. Таким образом, искомый закон распределения имеет вид

X
P	0,6	0,4

 

Задание 6. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения.

Найти: а) параметр k; б) математическое ожидание; в) дисперсию.

Решение. Найдем плотность распределения f(x)=F'(x):

Параметр k определим из условия

.

В нашем случае

.

Таким образом, плотность распределения имеет вид

Найдем теперь математическое ожидание

.

Найдем теперь дисперсию, для этого предварительно вычислим

.

Тогда

.

Задание 7. Известны математическое ожидание а =165 и среднее квадратичное отклонение s=5 нормально распределенной случайной величины Х. Найти вероятность: а) попадания этой величины в заданный интервал
(170, 180); б) отклонения этой величины от математического ожидания не более, чем на d=8.

Решение. Плотность функции нормального распределения имеет вид

.

Функция нормального распределения имеет вид

.

Однако часто вместо функции нормального распределения используется функция Лапласа F(x):

,

где – функция Лапласа.

Вероятность того случайная величина X, описываемая нормальным распределением, примет значение, принадлежащее интервалу (a,b), имеет вид

.

В нашем случае получим

.

Вероятность того, что отклонение случайной величины X от математического ожидания по абсолютной величине меньше заданного положительного числа d, вычисляется по формуле:

В нашем случае получим

Задание 8. Из генеральной совокупности извлечена выборка, которая представлена в виде интервального вариационного ряда:

x	582-589	589-596	596-603	603-610	610-617	617-624	624-631	631-638	638-645	645-652
n

а) Предполагая, что генеральная совокупность имеет нормальное распределение, построить доверительный интервал для математического ожидания отклонения с доверительной вероятностью g=0,95. б) Вычислить коэффициенты асимметрии и эксцесса, используя упрощенный метод вычислений, и сделать соответствующие предположения о виде функции распределения генеральной совокупности. в) Используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о нормальности распределения генеральной совокупности при уровне значимости a=0,05.

Решение. а) Вычислим основные числовые характеристики данного вариационного ряда, используя упрощенный метод расчета моментов. Для этого вместо интервального ряда введем дискретный, записав вместо интервалов только середины интервалов, а результаты занесем в таблицу. По упрощенному методу вводим новую переменную

.

Далее, в соответствии с данными таблицы получаем

,

.

Однако выборочная дисперсия является смещенной оценкой, т.е. она дает заниженное значение дисперсии генеральной совокупности. Поэтому вместо выборочной дисперсии используют исправленную выборочную дисперсию

.

В данном случае

.

Тогда среднеквадратичное отклонение равно

.

xi	ni	ui	niui
585,5		–4	–16		–256
592,5		–3	–15		–135
599,5		–2	–12		–48
606,5		–1	–12		–12
613,5
620,5
627,5
634,5
641,5
648,5
S

Доверительным интервалом (a,b) для статистического параметра q называется интервал, который с заданной вероятностью g "накрывает" неизвестное значение параметра, т.е.

.

Доверительный интервал для математического ожидания a, в случае нормального распределения с неизвестным средним квадратичным отклонением (точнее, известна только его оценка), имеет вид

,

где t – коэффициент, связанный с распределением Стьюдента и определяемый объемом выборки n и доверительной вероятностью g. Коэффициент t обычно находится из таблиц по заданным степеням свободы k=n –1 и доверительной вероятности g (или уроню значимости a=1–g).

В рассматриваемом случае n =90, следовательно k =89. Тогда, при g=0,95, по таблицам для распределения Стьюдента, находим,

.

В результате получаем

.

Отсюда

.

б) Найдем теперь выборочные значения начальных и центральныхмоментов:

, .

По упрощенному методу, сначала вычисляется центральный момент для новой переменной m_k (u), а затем находят моменты для заданной переменной m_k (x) по формуле

.

Между начальными и центральными моментами существует взаимосвязь:

, .

Здесь нужно иметь в виду, что , .

Найдем начальные моменты по данным таблицы:

, .

Тогда

,

.

Зная моменты 3-го и 4-го порядков, можно вычислить коэффициент асимметрии и эксцесс:

, .

Асимметрия положительна, следовательно, распределение характеризуется незначительной правосторонней асимметрией. Отрицательный эксцесс указывает на более плосковершинное распределение по сравнению с нормальным.

Определим теперь значимость коэффициентов асимметрии и эксцесса. Для этого вычислим погрешность вычислений по формулам

,

.

Посмотрим теперь, попадают ли найденные значения в "трехсигмовый" интервал:

, .

Из полученных неравенств следует, что коэффициент асимметрии и эксцесс не значимо отличаются от нуля и есть все основания полагать, что распределение генеральной совокупности является нормальным.

в) Критерием согласия называется критерий поверки гипотезы о предполагаемом законе распределения. В соответствии с критерием Пирсона сначала вычисляется величина

,

где p_i – вероятности, полученные по некоторому теоретическому закону распределения. Заметим, что c²-распределение можно применять только при достаточно большом объеме выборки (n t50) и достаточно больших частотах (n_i ³5). Ту группу вариационного ряда, для которых последнее условие не выполняется, объединяют с соседней и, соответственно, уменьшают число интервалов. В рассматриваемом случае мы должны объединить интервалы 1 и 2, а также 9 и 10 (см. таблицу).

 

i	xi – xi +1	ni
1	582-589		–0,4131	–0,4887	0,0756	6,804	0,709
	589-596
	596-603		–0,3159	–0,4131	0,0972	8,748	0,863
	603-610		–0,1700	–0,3159	0,1459	13,131	0,097
	610-617		0,0080	–0,1700	0,1780	16,020	1,562
	617-624		0,1844	0,0080	0,1764	15,876	0,080
	624-631		0,3264	0,1844	0,1420	12,780	1,118
	631-638		0,4192	0,3264	0,0928	8,352	0,219
9	638-645
	645-652		0,4898	0,4192	0,0706	0,0706	1,102
					0,9785	88,065	5,750

В предположении, что имеет место нормальное распределение, были оценены два параметра этого распределения: и . Если изучаемое распределение подчинено нормальному распределению, то вероятность того, что случайная величина X примет значение из интервала (x_i < X < x_{i +1}), находится по формуле

,

где

– функция Лапласа, значения которой табулированы и приводятся в таблицах. Следует отметить, что функция Лапласа является нечетной функцией, т.е. F(– x)=–F(x).

Из расчетной таблицы видно, что

.

Теперь найдем критическое значение . Поскольку у предполагаемой модели были неизвестны оба параметра, поэтому k =2; при расчете критерия использовались восемь интервалов r =8. Таким образом, число степеней свободы n= r –1– k =5. При заданном уровне значимости из таблиц для c²-распределения находим

.

Поскольку , то нет оснований отвергать нулевую гипотезу, т.е. что исходное распределение является нормальным.

Задание 9. Методом наименьших квадратов подобрать функцию по табличным данным и сделать чертеж.

x
y

Решение. В соответствие с методом наименьших квадратов (МНК) следует подобрать коэффициенты a и b таким образом, чтобы функция

приняла минимальное значение. Необходимым условием экстремума функции Q является равенство нулю всех частных производных по неизвестным параметрам. Чтобы упростить вычисления вместо искомой функции рассмотрим ее логарифм

.

Тогда функция Q будет иметь вид

.

Составляем систему уравнений

Отсюда находим

и .

Далее, составим таблицу вычислений:

x	y	ln y	x 2	x 4	x 2ln y
		6,985			0,000	1064,3
		6,841			27,362	947,1
		6,585			105,357	667,5
		5,892			212,099	372,6
		5,170			330,911	164,7
		3,761			376,120	57,7
		2,944			423,999	16,0
		5,454			210,836

По данным таблицы находим

, ,

Таким образом, искомая функция имеет вид

.

Изобразим на рисунке исходные данные (квадратики) и график искомой кривой: