Стандартная система

Чтобы не «привязываться» к конкретной структурной схеме, программы для проектирования оптимальных регуляторов обычно используют так называемую стандартную систему, где выделяют 4 типа сигналов и связанных с ними передаточных функций:

– сигнал ошибки, его нужно сделать «минимальным»;

– измеренный сигнал обратной связи, поступающий на вход регулятора;

– внешнее возмущение;

– управляющий сигнал на выходе регулятора.

Уравнения системы (в изображениях по Лапласу) можно записать так:

Справа показано общепринятое обозначение стандартной системы. Обратите внимание, что в ней (формально) используется положительная обратная связь. При построении передаточных функций предполагается, что регулятора в контуре нет (цепь разорвана).

Каждый из четырех сигналов может быть векторным, то есть, содержать несколько компонент. Например, в рассмотренной выше задаче стабилизации судна на курсе требовалось ограничить сумму дисперсий . Ее можно представить как дисперсию векторного сигнала , которая по определению равна: .

Здесь обозначает математическое ожидание выражения в фигурных скобках, верхний индекс – операцию транспонирования. Также учитывается, что сигналы центрированные, поэтому математическое ожидание квадрата сигнала равно его дисперсии.

Построим стандартную систему для задачи оптимальной стабилизации судна на курсе, которая рассматривалась выше. Здесь добавлен фильтр , который формирует спектр помехи измерений. Его входной сигнал описывается как единичный белый шум, независимый от .

Вектор внешних воздействий в задаче оптимизации при случайных возмущениях должен описываться моделью единичного белого шума. В данном случае он состоит из двух компонент, независимых сигналов и . Уравнения системы выглядят так:

Поэтому

, , , .

Обратите внимание, что отрицательная обратная связь здесь выражается в том, что в записи появляется знак «минус». Можно показать, что – это передаточная функция разомкнутого контура (без регулятора).