Постановка задачи. Задача следящей системы – отслеживать на выходе сигнал , подаваемый на вход

Задача следящей системы – отслеживать на выходе сигнал , подаваемый на вход. Например, систему автоматического управления курсом корабля (автопилот) можно рассматривать как следящую систему ( – заданный курс, – фактический курс).

Точность следящей системы определяется свойствами сигнала ошибки :

Если эталонный (задающий) сигнал – случайный процесс с известной спектральной плотностью, мы получаем задачу оптимизации при случайных возмущениях, варианты которой были рассмотрены ранее.

Здесь мы остановимся на задаче оптимизации при детерминированных (известных, определенных, неслучайных) возмущениях. Это означает, что мы знаем входной сигнал (например, его изображение по Лапласу ). При этом требуется обеспечить «малость» ошибки в некотором смысле. В идеальном случае ошибка равна нулю для любого момента времени. В реальных системах этот результат чаще всего недостижим, поскольку требует бесконечно большого управления.

Предположим, что входной сигнал имеет ступенчатый вид, причем можно считать, что его изменение происходит достаточно редко, так что при очередном скачке переходный процесс, вызванный предыдущим изменением, уже закончился. В этом случае имеет смысл строить оптимальную систему для единичного скачка на входе. Так как система линейная, при любом изменении величины скачка она останется оптимальной (изменится только величина сигналов).

В идеале мы хотим, чтобы изменение входного сигнала мгновенно привело к такому же изменению на выходе. Можно догадаться, что для мгновенного перевода инерционной системы (а не просто усилителя) в новое состояние требуется бесконечное управление. Этот вариант неприемлем с практической точки зрения и нереализуем, поскольку управляющий сигнал всегда ограничен. Таким образом, реальный переходный процесс будет отличаться от идеального. Как же измерить эту ошибку, оценив ее одним числом?

Казалось бы, можно взять интеграл от сигнала ошибки на интервале от 0 до бесконечности[37] , однако он может служить для оценки ошибки только при монотонном переходном процессе, когда ошибка всегда остается положительной (см. рисунок слева). Если процесс колебательный, на разных интервалах ошибка может принимать как положительные, так и отрицатель-ные значения, поэтому использовать этот интеграл для оценки ошибки нельзя (см. рисунок справа).

Мы можем справиться с этой проблемой, если интегрировать модуль ошибки: .

Такую оценку иногда используют при численной оптимизации. К сожалению, получить оптимальную передаточную функцию регулятора аналитически (по формулам) в этом случае не удается.

Удобнее всего минимизировать интеграл от квадрата ошибки (его также называют интегральной квадратической ошибкой): .

(13)

Далее мы увидим, что задачу оптимизации по такому критерию удается свести к задаче фильтрации Винера.