Эквивалентность двух задач

Теорема Парсеваля позволяет обнаружить связь между задачами анализа и синтеза при случайных (или стохастических) и детерминированных возмущениях.

Поскольку ошибка стремится к нулю при , ее преобразование Лапласа – устойчивая функция (все ее полюса имеют отрицательные вещественные части). Если рассматривать как передаточную функцию формирующего фильтра, то можно построить соответствующую спектральную плотность , так что .

Таким образом, интеграл от квадрата функции , стремящейся к нулю при , равен среднему квадрату случайного процесса, имеющего спектральную плотность .

Пусть существует некоторая система с передаточной функцией . Обозначим ее входной сигнал через , а выходной – через .

Если – единичный центрированный белый шум, то спектральная плотность выхода равна , а дисперсия выхода (средний квадрат) – интегралу от спектральной плотности по мнимой оси.

В то же время, если – единичный импульс (дельта-функция), изображение выхода по Лапласу равно , а интегральная квадратическая ошибка равна тому же самому интегралу от . Таким образом, вместо вычисления дисперсии выхода при белом шуме на входе можно вычислить интеграл от квадрата выходного сигнала при импульсном входе, и наоборот. Квадратный корень из этой величины называется -нормой передаточной функции :

и вычисляется с помощью функции norm среды Matlab.

С другой стороны, пусть передаточная функция зависит определенным образом от выбора регулятора . Тогда, как следует из сказанного, две следующие задачи оптимизации эквивалентны:

1) найти регулятор , минимизирующий дисперсию ошибки при единичном белом шуме на входе;

2) найти регулятор , минимизирующий интегральную квадратическую ошибку при поступлении на вход единичного импульса (дельта-функции).

Вторая задача в теории управления называется задачей -оптимизации или просто -задачей (поскольку требуется обеспечить минимум -нормы передаточной функции замкнутой системы), а о первой говорят как о стохастическом варианте - задачи.