Решение. Пример 6. Найти частные производные второго порядка функции

Ответ:

Пример 6. Найти частные производные второго порядка функции .

Решение.

Таким образом: , ,

Таким образом:

 

Заметим, что

 

Пример 7. Показать, что при .

Решение. Сначала найдем первые частные производные

Теперь находим смешанные вторые частные производные и сравниваем их.

Видим, что смешанные производные равны, что и требовалось показать.

Экстремумы функции

(максимум и минимум )

 

а) Необходимые условия: если в точке функция имеет экстремум, то в этой точке. – критическая (стационарная) точка.

 

б) Достаточные условия: если – критическая точка и

 

в этой точке, то – точка экстремума. Причем, если , то – точка максимума, если , то – точка минимума. Чтобы найти экстремум, надо вычислить .

 

Пример 8. Найти минимум и максимум функции .

Решение. Найдем стационарные точки, в которых (необходимые условия экстремума):

.

Решим систему уравнений

 

+ .

 

Найдены три стационарные точки: . Исследуем их на экстремум с помощью достаточных условий:

 

;

, , ;

.

1) ,

отсюда следует, что в точке функция z имеет минимум

.

2) – неизвестно, есть ли экстремум.

3) ,

отсюда следует, что в точке функция z имеет минимум, .

Ответ: Данная функция имеет минимум в двух симметричных точках и , скорее всего в точке у нее максимум .

 

Задача 5 Исследовать на экстремум функцию .