(U(x)×V(x))¢=U¢(x)V(x)+U(x)V¢(x), где .Тогда для , .
Пример 4. Для найти .
Воспользуемся формулой:
= , где .
Пример 5. Для найти .
Это сложная функция. Можно представить данную функцию как , где . Зная, что , получим:
.
Пример 6. Для найти .
Это сложная функция. Можно представить данную функцию как , где . Зная, что , получим:
.
Пример 7. Для найти .
Это сложная функция. Можно представить данную функцию как , где . Зная, что , получим:
Пример 8. Для найти .
Это сложная функция. Можно представить данную функцию как , где . Зная, что , получим:
Задача 1. Найти производные функций:
1) .
.
Можно представить данную функцию как , где . Зная, что , получим
Ответ: .
2) .
.
Можно представить , где . Причем , в результате получим
Ответ: .
3) .
.
После подстановок получим
.
Ответ: .
4) .
, если воспользоваться правилом .
Ответ: .
Контрольные варианты к задаче 1.
Найти производные функций:
1.
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) .
2.
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) .
3.
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) .
4.
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) .
5.
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) .
6.
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) .
7.
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) .
8.
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) .
9.
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) .
10.
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) .
11.
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) .
12.
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) .
13.
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) .
14.
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) .
15.
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) .
16.
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) .
17.
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) .
18.
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) .
19.
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) .
20.
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) .
21.
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) .
22.
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) .
23.
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) .
24.
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) .
25.
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) .
26.
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) .
27.
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) .
28.
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) .
29.
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) .
30.
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) .
Задача 2. Исследовать на экстремум функцию .
Решение. Найдем точки, подозрительные на экстремум. Для этого возьмем производную и приравняем ее нулю.
при .
На тех интервалах, где , функция убывает; где , функция возрастает. Поэтому интервалы возрастания функции и , интервалы убывания функции и .
По рисунку видно, что в точках и функция принимает свои минимальные значения, а при - максимальное. Найдем эти значения:
Ответ: .
Контрольные варианты к задаче 2.
Исследовать на экстремум:
1.
1)
;
2)
.
2.
1)
;
2)
.
3.
1)
;
2)
.
4.
1)
;
2)
.
5.
1)
;
2)
.
6.
1)
;
2)
.
7.
1)
;
2)
.
8.
1)
;
2)
.
9.
1)
;
2)
.
10.
1)
;
2)
.
11.
1)
;
2)
.
12.
1)
;
2)
.
13.
1)
;
2)
.
14.
1)
;
2)
.
15.
1)
;
2)
.
16.
1)
;
2)
.
17.
1)
;
2)
.
18.
1)
;
2)
.
19.
1)
;
2)
.
20.
1)
;
2)
.
21.
1)
;
2)
.
22.
1)
;
2)
.
23.
1)
;
2)
.
24.
1)
;
2)
.
25.
1)
;
2)
.
26.
1)
;
2)
.
27.
1)
;
2)
.
28.
1)
;
2)
.
29.
1)
;
2)
.
30.
1)
;
2)
.
Задача 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .
Решение. Так как свои наименьшее и наибольшее значения непрерывная на отрезке функция может принимать либо на концах этого отрезка, либо в точках экстремума, входящих в этот отрезок, то находим значения исследуемой функции во всех этих точках и среди них выбираем наибольшее и наименьшее значения.
при ;
.
Найдем значение функции только при так как .
.
Выбираем наибольшее значение функции из найденных трех чисел; это 10. Теперь наименьшее – это 3.
Устройство рабочих органов мясорубки Независимо от марки мясорубки и её технических характеристик, все они имеют принципиально одинаковые устройства...
Анализ микросреды предприятия Анализ микросреды направлен на анализ состояния тех составляющих внешней среды, с которыми предприятие находится в непосредственном взаимодействии...