Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Основные правила дифференцирования


12345Следующая ⇒



 

2) (U(x)±V(x))¢=U¢(x)±V¢(x)

3)(U(x)×V(x))¢=U¢(x)V(x)+U(x)V¢(x)

4) =

5) (CU(x))¢=C(U(x))¢

 

 

1. C¢=0  
2. x’=1  
3. (xn)¢=nxn-1 (un)¢=nun-1u¢
4. (cosx)¢=-sinx (cosu)¢=-sinu u¢
5. (sinx)¢=cosx (sinu)¢=cosu u¢
6. (tgx)¢= (tgu)¢= u¢
7. (ctgx)¢=- (ctgu)¢=- u¢
8. (arctgx)¢= (arctgu)¢= u¢
9. (arcctgx)¢=- (arcctgu)¢=- u¢
10. (arcsinx)¢= (arcsinu)¢= u¢
11. (arccosx)¢=- (arcosu)¢=- u¢
12. (ax)¢=axlna (au)¢=aulna u¢
13. (ex)¢=ex (eu)¢=euu¢
14. (logax)¢= (logau)¢= u¢
15. (lnx)¢= (lnu)¢= u¢

 

Пример 2. .

Пример 3. Для найти

Воспользуемся формулой:

(U(x)×V(x))¢=U¢(x)V(x)+U(x)V¢(x), где .Тогда для , .

Пример 4. Для найти .

Воспользуемся формулой:

= , где .

Пример 5. Для найти .

Это сложная функция. Можно представить данную функцию как , где . Зная, что , получим:

.

Пример 6. Для найти .

Это сложная функция. Можно представить данную функцию как , где . Зная, что , получим:

.

Пример 7. Для найти .

Это сложная функция. Можно представить данную функцию как , где . Зная, что , получим:

Пример 8. Для найти .

Это сложная функция. Можно представить данную функцию как , где . Зная, что , получим:

Задача 1. Найти производные функций:

1) .

.

Можно представить данную функцию как , где . Зная, что , получим

Ответ: .

 

2) .

.

Можно представить , где . Причем , в результате получим

Ответ: .

3) .

.

После подстановок получим

.

Ответ: .

 

4) .

, если воспользоваться правилом .

Ответ: .

 

Контрольные варианты к задаче 1.

Найти производные функций:

1. 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) .  
   
2. 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) .  
         

 

3. 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) .  

 

 

4. 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) .  

 

 

5. 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) .  

 

 

6. 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) .  
7. 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) .  
         

 

 

8. 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) .  

 

 

9. 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) .  
 
10. 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) .  
 
11. 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) .  
               

 

12. 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) .  

 

 

13. 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) .  
   
14. 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) .  
15. 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) .  
           

 

 

16. 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) .  

 

17. 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) .  
   
18. 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) .  
         

 

19. 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) .  

 

 

20. 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) .  

 

 

21. 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) .  

 

 

22. 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) .  
23. 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) .  
         

 

 

24. 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) .  

 

 

25. 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) .  
 
26. 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) .    
 
27. 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) .  
                 

 

 

28. 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) .  

 

 

29. 1) ; 2) ; 3) ;  
4) ; 5) ; 6) ;  
7) ; 8) ; 9) ;  
10) .    
     
30. 1) ; 2) ; 3) ;  
4) ; 5) ; 6) ;  
7) ; 8) ; 9) ;  
   
10) .    
             

 

 

Задача 2. Исследовать на экстремум функцию .

Решение. Найдем точки, подозрительные на экстремум. Для этого возьмем производную и приравняем ее нулю.

при .

 

На тех интервалах, где , функция убывает; где , функция возрастает. Поэтому интервалы возрастания функции и , интервалы убывания функции и .

По рисунку видно, что в точках и функция принимает свои минимальные значения, а при - максимальное. Найдем эти значения:

Ответ: .

 

Контрольные варианты к задаче 2.

Исследовать на экстремум:

1. 1) ; 2) .
2. 1) ; 2) .
3. 1) ; 2) .
4. 1) ; 2) .
5. 1) ; 2) .
6. 1) ; 2) .
7. 1) ; 2) .
8. 1) ; 2) .
9. 1) ; 2) .
10. 1) ; 2) .
11. 1) ; 2) .
12. 1) ; 2) .
13. 1) ; 2) .
14. 1) ; 2) .
15. 1) ; 2) .
16. 1) ; 2) .
17. 1) ; 2) .
18. 1) ; 2) .
19. 1) ; 2) .
20. 1) ; 2) .
21. 1) ; 2) .
22. 1) ; 2) .
23. 1) ; 2) .
24. 1) ; 2) .
25. 1) ; 2) .
26. 1) ; 2) .
27. 1) ; 2) .
28. 1) ; 2) .
29. 1) ; 2) .
30. 1) ; 2) .

Задача 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Решение. Так как свои наименьшее и наибольшее значения непрерывная на отрезке функция может принимать либо на концах этого отрезка, либо в точках экстремума, входящих в этот отрезок, то находим значения исследуемой функции во всех этих точках и среди них выбираем наибольшее и наименьшее значения.

при ;

.

Найдем значение функции только при так как .

.

Выбираем наибольшее значение функции из найденных трех чисел; это 10. Теперь наименьшее – это 3.

Ответ:

Контрольные варианты к задаче 3.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

1. на отрезке .
2. на отрезке .
3. на отрезке .
4. отрезке .
5. на отрезке
6. на отрезке
7. на отрезке .
8. на отрезке .
9. на отрезке .
10. на отрезке .
11. на отрезке .
12. на отрезке .
13. на отрезке .
14. на отрезке .
15. на отрезке .
16. на отрезке .
17.

12345Следующая ⇒


Дата добавления: 2015-09-19; просмотров: 386. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!


Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...


ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...


Теория усилителей. Схема Основная масса современных аналоговых и аналого-цифровых электронных устройств выполняется на специализированных микросхемах...


Логические цифровые микросхемы Более сложные элементы цифровой схемотехники (триггеры, мультиплексоры, декодеры и т.д.) не имеют...

Влияние первой русской революции 1905-1907 гг. на Казахстан. Революция в России (1905-1907 гг.), дала первый толчок политическому пробуждению трудящихся Казахстана, развитию национально-освободительного рабочего движения против гнета. В Казахстане, находившемся далеко от политических центров Российской империи...

Виды сухожильных швов После выделения культи сухожилия и эвакуации гематомы приступают к восстановлению целостности сухожилия...

КОНСТРУКЦИЯ КОЛЕСНОЙ ПАРЫ ВАГОНА Тип колёсной пары определяется типом оси и диаметром колес. Согласно ГОСТ 4835-2006* устанавливаются типы колесных пар для грузовых вагонов с осями РУ1Ш и РВ2Ш и колесами диаметром по кругу катания 957 мм. Номинальный диаметр колеса – 950 мм...

Понятие о синдроме нарушения бронхиальной проходимости и его клинические проявления Синдром нарушения бронхиальной проходимости (бронхообструктивный синдром) – это патологическое состояние...

Опухоли яичников в детском и подростковом возрасте Опухоли яичников занимают первое место в структуре опухолей половой системы у девочек и встречаются в возрасте 10 – 16 лет и в период полового созревания...

Способы тактических действий при проведении специальных операций Специальные операции проводятся с применением следующих основных тактических способов действий: охрана...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.016 сек.) русская версия | украинская версия