Основные правила дифференцирования

 

2) (U(x)±V(x))¢=U¢(x)±V¢(x)

3)(U(x)×V(x))¢=U¢(x)V(x)+U(x)V¢(x)

4) =

5) (CU(x))¢=C(U(x))¢

 

 

1. C¢=0   2. x’=1   3. (xn)¢=nxn-1 (un)¢=nun-1u¢ 4. (cosx)¢=-sinx (cosu)¢=-sinu u¢ 5. (sinx)¢=cosx (sinu)¢=cosu u¢ 6. (tgx)¢= (tgu)¢= u¢ 7. (ctgx)¢=- (ctgu)¢=- u¢ 8. (arctgx)¢= (arctgu)¢= u¢ 9. (arcctgx)¢=- (arcctgu)¢=- u¢ 10. (arcsinx)¢= (arcsinu)¢= u¢ 11. (arccosx)¢=- (arcosu)¢=- u¢ 12. (ax)¢=axlna (au)¢=aulna u¢ 13. (ex)¢=ex (eu)¢=euu¢ 14. (logax)¢= (logau)¢= u¢ 15. (lnx)¢= (lnu)¢= u¢

Пример 2. .

Пример 3. Для найти

Воспользуемся формулой:

(U(x)×V(x))¢=U¢(x)V(x)+U(x)V¢(x), где .Тогда для , .

Пример 4. Для найти .

Воспользуемся формулой:

= , где .

Пример 5. Для найти .

Это сложная функция. Можно представить данную функцию как , где . Зная, что , получим:

.

Пример 6. Для найти .

Это сложная функция. Можно представить данную функцию как , где . Зная, что , получим:

.

Пример 7. Для найти .

Это сложная функция. Можно представить данную функцию как , где . Зная, что , получим:

Пример 8. Для найти .

Это сложная функция. Можно представить данную функцию как , где . Зная, что , получим:

Задача 1. Найти производные функций:

1) .

.

Можно представить данную функцию как , где . Зная, что , получим

Ответ: .

 

2) .

.

Можно представить , где . Причем , в результате получим

Ответ: .

3) .

.

После подстановок получим

.

Ответ: .

 

4) .

, если воспользоваться правилом .

Ответ: .

 

Контрольные варианты к задаче 1.

Найти производные функций:

1.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .
2.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .

 

3.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .

 

 

4.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .

 

 

5.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .

 

 

6.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .
7.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .

 

 

8.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .

 

 

9.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .
10.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .
11.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .

 

12.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .

 

 

13.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .
14.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .
15.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .

 

 

16.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .

 

17.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .
18.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .

 

19.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .

 

 

20.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .

 

 

21.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .

 

 

22.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .
23.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .

 

 

24.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .

 

 

25.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .
26.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .
27.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .

 

 

28.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .

 

 

29.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .
30.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .

 

 

Задача 2. Исследовать на экстремум функцию .

Решение. Найдем точки, подозрительные на экстремум. Для этого возьмем производную и приравняем ее нулю.

при .

 

На тех интервалах, где , функция убывает; где , функция возрастает. Поэтому интервалы возрастания функции и , интервалы убывания функции и .

По рисунку видно, что в точках и функция принимает свои минимальные значения, а при - максимальное. Найдем эти значения:

Ответ: .

 

Контрольные варианты к задаче 2.

Исследовать на экстремум:

1.	1)	;	2)	.
2.	1)	;	2)	.
3.	1)	;	2)	.
4.	1)	;	2)	.
5.	1)	;	2)	.
6.	1)	;	2)	.
7.	1)	;	2)	.
8.	1)	;	2)	.
9.	1)	;	2)	.
10.	1)	;	2)	.
11.	1)	;	2)	.
12.	1)	;	2)	.
13.	1)	;	2)	.
14.	1)	;	2)	.
15.	1)	;	2)	.
16.	1)	;	2)	.
17.	1)	;	2)	.
18.	1)	;	2)	.
19.	1)	;	2)	.
20.	1)	;	2)	.
21.	1)	;	2)	.
22.	1)	;	2)	.
23.	1)	;	2)	.
24.	1)	;	2)	.
25.	1)	;	2)	.
26.	1)	;	2)	.
27.	1)	;	2)	.
28.	1)	;	2)	.
29.	1)	;	2)	.
30.	1)	;	2)	.

Задача 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Решение. Так как свои наименьшее и наибольшее значения непрерывная на отрезке функция может принимать либо на концах этого отрезка, либо в точках экстремума, входящих в этот отрезок, то находим значения исследуемой функции во всех этих точках и среди них выбираем наибольшее и наименьшее значения.

при ;

.

Найдем значение функции только при так как .

.

Выбираем наибольшее значение функции из найденных трех чисел; это 10. Теперь наименьшее – это 3.

Ответ:

Контрольные варианты к задаче 3.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

1.	на отрезке .
2.	на отрезке .
3.	на отрезке .
4.	отрезке .
5.	на отрезке
6.	на отрезке
7.	на отрезке .
8.	на отрезке .
9.	на отрезке .
10.	на отрезке .
11.	на отрезке .
12.	на отрезке .
13.	на отрезке .
14.	на отрезке .
15.	на отрезке .
16.	на отрезке .
17.	12345Следующая ⇒ Дата добавления: 2015-09-19; просмотров: 362. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы! Картограммы и картодиаграммы Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения географической характеристики изучаемых явлений... Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета... Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где... Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса... ЛЕЧЕБНО-ПРОФИЛАКТИЧЕСКОЙ ПОМОЩИ НАСЕЛЕНИЮ В УСЛОВИЯХ ОМС 001. Основными путями развития поликлинической помощи взрослому населению в новых экономических условиях являются все... МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ МОРФЕМНОГО СОСТАВА СЛОВА В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ В практике речевого общения широко известен следующий факт: как взрослые... СИНТАКСИЧЕСКАЯ РАБОТА В СИСТЕМЕ РАЗВИТИЯ РЕЧИ УЧАЩИХСЯ В языке различаются уровни — уровень слова (лексический), уровень словосочетания и предложения (синтаксический) и уровень Словосочетание в этом смысле может рассматриваться как переходное звено от лексического уровня к синтаксическому... Тема: Изучение фенотипов местных сортов растений Цель: расширить знания о задачах современной селекции. Оборудование:пакетики семян различных сортов томатов... Тема: Составление цепи питания Цель: расширить знания о биотических факторах среды. Оборудование:гербарные растения... В эволюции растений и животных. Цель: выявить ароморфозы и идиоадаптации у растений Цель: выявить ароморфозы и идиоадаптации у растений. Оборудование: гербарные растения, чучела хордовых (рыб, земноводных, птиц, пресмыкающихся, млекопитающих), коллекции насекомых, влажные препараты паразитических червей, мох, хвощ, папоротник...