Дифференцирование функций нескольких переменных

Частные производные функции

а) первого порядка: ,

где - частное приращение z по х.

,

где - частное приращение z по y.

б) второго порядка: - вторая производная функции z по переменной x, т. е. частная производная по переменной х, взятая от частной производной первого порядка по переменной х.

- смешанная производная z по х и по у;

- смешанная производная z по у и по х.

Можно показать, что порядок дифференцирования безразличен, т. е. ;

- вторая производная функции z по переменной y.

Правило. Отыскивая частные производные функции нескольких переменных по одной из переменных, пользуемся правилами и формулами дифференцирования, считая в этот момент все остальные переменные постоянными.

Пример 3. Найти частные производные первого порядка следующих функций:

а) .

,

отыскивая , переменную у считаем постоянной.

,

отыскивая , переменную х считаем постоянной.

 

б) .

отыскивая , переменную у считаем постоянной.

отыскивая , переменную х считаем постоянной.

Пример 4. Доказать следующие тождества:

а) , если .

Решение. Найдем данной функции и подставим их в равенство, которое надо доказать:

отыскивая , переменную у считаем постоянной..

,

отыскивая , переменную х считаем постоянной.

Следовательно

что и требовалось доказать.

Пример 5. Найти и функции .