Студопедия — ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. З а д а ч а 1. Небольшие санки массой 3 кг при помощи веревки длиной 1,5 м тянут с постоянной скоростью вверх по наклонной плоскости
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. З а д а ч а 1. Небольшие санки массой 3 кг при помощи веревки длиной 1,5 м тянут с постоянной скоростью вверх по наклонной плоскости






З а д а ч а 1. Небольшие санки массой 3 кг при помощи веревки длиной 1,5 м тянут с постоянной скоростью вверх по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол 30° (рис. 1). К веревке (вдоль нее) прикладывают силу в 21 Н. Расстояние от свободного конца веревки до наклонной плоскости равно 1 м (веревка прикреплена к центру масс санок). Найти коэффициент трения скольжения санок о поверхность плоскости.

X
Y
h
Рис. 1


Дано: m = 3 кг l = 1,5 м h = 1 м F1 = 21 H α = 30°   Решение.  
μ –?    

 

 

Санки, участвующие в поступательном движении, примем за материальную точку. Согласно основному уравнению динамики частицы (второму закону Ньютона) имеем:

(1)

(в инерциальной системе отсчета произведение массы частицы на ее ускорение равно векторной сумме всех сил, действующих на эту частицу).

На санки действуют (см. рис. 1) силы: , направленная под углом β; к перемещению, тяжести , реакции опоры и трения .

Выбираем инерциальную систему отсчета, связывая ее с неподвижной наклонной плоскостью так, чтобы ось ОХ была направлена в сторону движения тела. Находим проекции всех векторов уравнения движения на координатные оси:

(2) (3)

Учитывая, что ускорение равно нулю (санки движутся с постоянной скоростью),

(6) (7)
(4) (5)

получаем:

. (8)

Проверяем единицу измерения:

Производим вычисления:

Ответ:


З а д а ч а 2. С какой силой следует прижимать тормозную колодку к колесу, вращающемуся с частотой 30 об/с, для его остановки в течение 20 с, если коэффициент трения между колодкой и ободом колеса равен 0,5? Колесо (рис. 2) имеет форму сплошного диска массой 10 кг и диаметром 0,2 м. Сколько оборотов сделает колесо до остановки?

 

Дано: ν0 = 30 об/с t = 20 c μ = 0,5 m = 10 кг d = 0,2 м  

X
Y
Z
O
Рис. 2
O
Решение.

 

F3 –? N –?

 

Колесо участвует во вращательном движении относительно неподвижной оси, проходящей через центр масс (центр инерции) тела. Согласно основному уравнению динамики вращательного движения имеем:

(1)

(в инерциальной системе отсчета произведение момента инерции твердого тела относительно центра масс на его угловое ускорение равно векторной сумме моментов всех внешних сил, действующих на это тело относительно центра масс).На колесо действуют (см. рис. 2) силы: тяжести , реакции опоры , , с которой прижимают к колесу тормозную колодку, и трения между колодкой и ободом колеса (трением на оси колеса можно пренебречь).

Выбираем инерциальную систему отсчета, связывая ее с неподвижной осью вращения так, чтобы ось OZ была направлена вдоль оси вращения (при этом используем «правило буравчика»). Находим проекцию всех векторов уравнения движения на координатную ось OZ:

(2)

(проекции моментов сил , и на ось OZ равны нулю).

Колесо имеет форму сплошного диска, тогда момент инерции

. (3)

Движение колеса вращательное равнопеременное, поэтому для решения задачи воспользуемся формулами:

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

Учитывая, что колесо остановится , получаем:

(10)

И, наконец,

Тогда окончательно имеем:

(11)

отсюда

Проверяем единицу измерения:

Производим вычисления:


Количество оборотов N, которое сделает колесо до остановки за 20 с, вычисляем через полный угол поворота колеса:

(12)

отсюда

(13)

Проверяем единицу измерения:

Производим вычисления:

Ответ: F3 = 9,4 Н; N = 300 об.

З а д а ч а 3. Налетев на пружинный буфер, вагон массой 16 т, двигавшийся со скоростью 0,6 м/с, остановился, сжав пружину на 8 см. Найти общую жесткость пружин буфера. Насколько бы деформировались пружины при уменьшении скорости вагона в два раза?

 

Дано: m = 16 т v1 = 0,6 м/с v2 = v1 / 2 Δх1 = 8 см СИ 1,6·104 кг     8·10-2 м   Решение. В первом случае двигавшийся вагон обладал кинетической энергией, которая после его остановки полностью перешла в потенциальную энергию сжатых пружин буфера. Поэтому по закону сохранения энергии можно записать: (1)
k –? Δх2 –?

 

Отсюда:

(2)

Проверяем единицу измерения:

Производим вычисления:

Во втором случае вагон остановился не полностью, поэтому в потенциальную энергию буферных пружин перешла только часть кинетической энергии. С учетом этого запишем:

(3)

Отсюда

(4)

Проверяем единицу измерения:

Производим вычисления:

Ответ:

З а д а ч а 4. Небольшой ящик массой 20 кг соскальзывает по идеально гладкому лотку длиной 2 м на неподвижную тележку с песком (рис. 3) и застревает в нем. Тележка с песком массой 80 кг может свободно (без трения) перемещаться по рельсам в горизонтальном направлении. Определить скорость тележки с ящиком, если лоток наклонен под углом 30° к рельсам.


 

Дано: m1 = 20 кг l = 2 м m2 = 80 кг α = 30°

Решение.

X
α
h
l
Рис. 3

   

Тележку и ящик можно рассматривать как систему двух неупруго взаимодействующих тел. Эта система не замкнута, так как сумма внешних сил (см. рис. 3), действующих на систему (сил тяжести и и силы реакции опоры ), не равна нулю, поэтому применить закон сохранения импульса к системе «ящик – тележка» нельзя, но так как проекция суммы указанных сил на ось ОХ инерциальной системы, совпадающей с направлением рельсов, равна нулю, то проекцию импульса системы на это направление можно считать постоянной, т. е.

(1)

где и – проекции импульса ящика и тележки с песком в момент падения ящика на тележку; и – то же после падения ящика.

Учитывая, что тележка до взаимодействия с ящиком покоилась (р2x = 0), а после взаимодействия оба тела системы движутся с одной скоростью , получаем:

(2)

Скорость ящика перед падением на тележку v1 определяем из закона сохранения механической энергии:

(3)

где

Решая уравнения (2) и (3) совместно относительно , получаем:

(4)

Проверяем единицу измерения:

Производим вычисления:

Ответ:

 

З а д а ч а 5. Платформа в виде сплошного диска радиусом 1,5 и массой 180 кг вращается по инерции вокруг вертикальной оси, делая 12 об/мин. В центре платформы стоит человек массой 60 кг. Какую линейную скорость относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?

 

Дано: R=1,5 м m1 = 180 кг m2 = 60 кг ν1 = 12 об/мин СИ   0,2 об/с   Решение. Платформа вращается по инерции, следовательно, момент внешних сил относительно оси вращения OZ, совпадающей с геометрической осью платформы, равен нулю. При этом условии момент импульса системы «платформа – человек» относительно оси OZ остается постоянным:
v2 –?
   

(1)

где I1 и I2 – моменты инерции платформы и человека в начальном состоянии системы; – моменты инерции платформы и человека в конечном сос-тоянии системы (после перехода на край платформы); – угловая скорость вращения системы в начальном и конечном состоянии.

Найдя проекции всех величин, входящих в векторное уравнение (1), относительно инерциальной системы отсчета (ось OZ совпадает с геометрической осью вращения платформы), запишем закон сохранения момента импульса в скалярной форме:

(2)

Момент инерции платформы относительно оси OZ при переходе человека не изменяется:

(3)

Момент инерции человека относительно той же оси будет изменяться. Если рассматривать человека как материальную точку, то его момент инерции в начальном положении (в центре платформы) I2z можно считать равным нулю. В конечном положении (на краю платформы) момент инерции человека

(4)

Учитывая сказанное выше и то, что (v – линейная скорость человека относительно пола), получаем:

(5)

После сокращения на R2 и простых преобразований находим:

(6)

Проверяем единицу измерения:

Производим вычисления:

Ответ: v = 1,13 м/с.

 

З а д а ч а 6. В цилиндре под поршнем находится водород массой 20 г при температуре 27°С. Водород сначала расширился адиабатно, увеличив свой объем в пять раз, а затем был сжат изотермически до первоначального объема. Найти изменение внутренней энергии газа, работу, совершенную газом в этих процессах, и количество теплоты, подведенной к газу в этих процессах. Изобразить процессы в диаграмме «давление – объем».

 

Дано: m = 20 г М = 2·10-3 кг/моль t1 = 27°С V2/V1 = 5 V3 = V1 T2 = const i = 5 СИ m1 = 2·10-2 кг   T1 = 300 К     Решение. Графики процессов адиабатного рас-ширения 1 – 2 и изотермического сжатия 2 – 3 согласно условию задачи изображены на диаграмме (рис. 4) в PV-коорди-натах.
 
 
 
V
P
 
V1
V2
Рис. 4

ΔW -? A -? Q -?

 

 

Изменение внутренней энергии идеального газа в процессе 1 – 3 вычисляется по формуле:

(1)

где i – число степеней свободы молекул двухатомного газа водорода Н2;

Т3 = Т2, так как процесс 2 – 3 изотермический.

При адиабатном процессе 1 – 2 температура и объемы газа связаны между собой уравнением:

T1V1γ - 1 = T2V2γ - 1, (2)

где - адиабатная постоянная для двухатомного газа водорода, ,

отсюда

Т3 = Т2 = Т1 (V1/V2)γ - 1. (3)

Тогда общее изменение внутренней энергии газа

(4)

Проверяем единицу измерения:

Производим вычисления:

-29,6 (кДж).

Так как в изотермическом процессе 2 – 3 ΔWвн равна нулю, работу А1-2 газа при адиабатном расширении 1 – 2 вычисляем по формуле:

А1-2 = −ΔWвн1-2 = − ΔWвн1-3; (5)

А1-2 = 29,6 кДж.

Работу А2-3 при изотермическом сжатии 2 – 3 рассчитываем по урав-нению:

(6)

Проверяем единицу измерения:

Производим вычисления:

-21,1 (кДж).

Следовательно, полная работа, совершаемая газом,

А1-3 = А1-2 + А2-3; (7)

А1-3 = 29,6 − 21,1 = 8,5 (кДж).

Согласно первому закону термодинамики теплота Q, переданная газу, равна сумме изменения внутренней энергии ΔWвн и работы А:

Q = ΔWвн + A1-3; (8)

Q = -29,6 + 8,5 = −21,1 кДж.

Ответ: ΔWвн = −29,6 кДж; A1-3 = 8,5 кДж; Q = −21,1 кДж (тепло отводится).

З а д а ч а 7. Два килограмма льда, находящегося при температуре -13оС, нагрели и превратили в пар. Определить изменение энтропии в этом процессе.

 

Дано: m = 2 кг t1 = -13°С t2 = 0°С c1 = 2100 Дж/(кг·К) λ = 330 кДж/кг c2 = 4190 Дж/(кг·К) t3 = 100°С r = 2,25 МДж/кг СИ   T1 = 260 К T2 = 273 К   λ = 3,3·105 Дж/кг   T3 = 373 К r = 2,25·106 Дж/кг Решение. Весь процесс можно разбить на четыре отдельных процесса: наг-ревание льда от температуры Т1 до температуры плавления Т2; плавление льда при постоянной температуре Т2; нагревание воды, образовавшейся при плавлении льда, до температуры кипения Т3; превращение воды в пар при постоянной температуре Т3.
ΔS -?

Общее изменение энтропии ΔS равно сумме изменений энтропии, происходящих на отдельных стадиях процесса:

ΔS = ΔS1 + ΔS2 + ΔS3 + ΔS4. (1)

Процесс нагревания твердого вещества (льда) происходит при неизменном объеме (δA = 0), следовательно, изменение энтропии в этом процессе

(2)

где с1 – удельная теплоемкость льда (в этой области температуры с1 = const = = 2100 Дж/(кг·К)).

Изменение энтропии ΔS2 при плавлении льда (Т2 = const)

(3)

где λ - удельная теплота плавления льда, λ = 330 кДж/кг.

Изменение энтропии ΔS3 при нагревании воды от Т1 до температуры кипения Т3 (процесс происходит без изменения объема) рассчитываем по формуле:

(4)

где с2 – удельная теплоемкость воды (в этой области температуры с2 = const = = 4190 Дж/(кг·К)).

И, наконец, изменение энтропии ΔS4 при превращении воды в пар

(5)

где r – удельная теплота парообразования воды, r = 2,25 МДж/кг.

Таким образом, общее изменение энтропии в данном процессе

(6)

Проверяем единицу измерения:

Производим вычисления:

Ответ: ΔS = 17,3 кДж/К.

З а д а ч а 8. Вычислить удельную теплоемкость смеси неона и водорода при постоянном объеме с ν v, если массовые доли неона и водорода составляют соответственно 80 и 20 %.


 

Дано: m1 = 0,8m М1 = 20 г/моль i1 = 3 m2 = 0,2m М2 = 2 г/моль i2 = 5 СИ   М1 = 2·10-2 кг/моль     М2 = 2·10-3 кг/моль   Решение. Удельную теплоемкость с ν v смеси при постоянном объеме определяем следующим образом. Теплоту, необходимую для нагревания смеси на ΔТ, выражаем двумя способами: Q = с ν v(m1 + m2)ΔT; (1)
c ν v -?

Q = (m1с ν v1 + m2с ν v2)ΔT, (2)

где с ν v1, с ν v2 - удельная теплоемкость неона и водорода соответственно,

; (3)

. (4)

Приравнивая правые части уравнений (1), (2) друг к другу и разделив обе части полученного равенства на ΔТ, получаем:

, (5)

отсюда

(6)

Проверяем единицу измерения:

Производим вычисления:

Ответ: сv = 2,58 кДж/(кг·К).

 


ТАБЛИЦА ВАРИАНТОВ И НОМЕРА ЗАДАЧ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 1

 

Вариант   Номера задач Вариант   Номера задач
                               
                                   
                                   
                                   
                                   
                                   

 

ЗАДАЧИ

 







Дата добавления: 2015-09-19; просмотров: 3053. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

Расчет концентрации титрованных растворов с помощью поправочного коэффициента При выполнении серийных анализов ГОСТ или ведомственная инструкция обычно предусматривают применение раствора заданной концентрации или заданного титра...

Психолого-педагогическая характеристика студенческой группы   Характеристика группы составляется по 407 группе очного отделения зооинженерного факультета, бакалавриата по направлению «Биология» РГАУ-МСХА имени К...

Общая и профессиональная культура педагога: сущность, специфика, взаимосвязь Педагогическая культура- часть общечеловеческих культуры, в которой запечатлил духовные и материальные ценности образования и воспитания, осуществляя образовательно-воспитательный процесс...

Объект, субъект, предмет, цели и задачи управления персоналом Социальная система организации делится на две основные подсистемы: управляющую и управляемую...

Законы Генри, Дальтона, Сеченова. Применение этих законов при лечении кессонной болезни, лечении в барокамере и исследовании электролитного состава крови Закон Генри: Количество газа, растворенного при данной температуре в определенном объеме жидкости, при равновесии прямо пропорциональны давлению газа...

Ганглиоблокаторы. Классификация. Механизм действия. Фармакодинамика. Применение.Побочные эфффекты Никотинчувствительные холинорецепторы (н-холинорецепторы) в основном локализованы на постсинаптических мембранах в синапсах скелетной мускулатуры...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.012 сек.) русская версия | украинская версия