Министерство образования Республики Беларусь 8 страница

 

.

Сведем двойной интеграл к повторному интегралу

 

 

Задача 4.9. Вычислить с помощью тройного интеграла объем области V, ограниченной указанными поверхностями: V: y=8-2x², z=0, y=0, x=0, z=2x+y.

 

Решение. Область V изображена на рисунке, где цифрами 1, 2 обозначены параболический цилиндр y=8-2x² и плоскость z=2x+y соответственно; остальные уравнения отвечают координатным плоскостям.

 

 

y

 

8 - B

V 2

1 4 -

D

S

0 C

 

 

Объем области посредством тройного интеграла запишется

 

 

Приведем интеграл к повторному

 

.

 

Через обозначены аппликаты точек (см. рис.), вычисленные из уравнений плоскости и плоскости , т.е. , . Через обозначена область плоскости , на которую проецируется область . Поэтому при сведении двойного интеграла по области к повторному ординаты точек вычисляются из уравнения и уравнения линии, являющейся пересечением цилиндрической поверхности и плоскости т.е. уравнения Искомый объем равен

 

 

 

Задача 4.10. Вычислить: а) заряд проводника, располагающегося вдоль кривой , с плотностью с помощью криволинейного интеграла первого рода; b) работу силы вдоль траектории L от т. A до т. B с помощью криволинейного интеграла второго рода.

- четверть окружности между А(3,-3), В(5,-1). (2) - дуга параболы от А (0,1) до В (1,-1).

 

Решение. а). Заряд q проводника, имеющего плотность заряда вычисляется по формуле

 

.

 

(1). Окружность удобно задать в параметрическом виде:

 

.

 

Участку L соответствуют значения параметра где

 

 

откуда Криволинейный интеграл выражается через определенный

 

 

причем верхний знак выбирается при и нижний - при

В данной задаче

 

 

(2). Для дуги параболы L удобнее использовать частный случай формулы при

 

 

Для имеем

 

 

Используем подстановку

 

 

Тогда

 

б). Работа силового поля с компонентами вдоль траектории АВ запишется

 

 

(1). Для четверти окружности приведем интеграл к определенному по формуле

 

 

 

 

(2). Для дуги параболы

 

 

Задача 4.11. Вычислить расход жидкости с полем скоростей , протекающей за единицу времени через часть плоскости лежащей в первом октанте. Единичная нормаль направлена вне начала координат.

 

 

 

Решение. Искомый расход дан формулой

 

.

 

Единичная нормаль к плоскости имеет компоненты

 

.

 

Поверхностный интеграл можно выразить через двойной интеграл

 

,

 

где уравнение поверхности записано в явном виде:

 

.

 

Область является проекцией на плоскость и ограничена линиями

 

.

 

Внося в двойной интеграл заданные функции, находим

 

.

 

Последний запишется через повторный интеграл

 

 

 

С о д е р ж а н и е

 

1.	Общие рекомендации студенту-заочнику по работе над курсом высшей математики........................
2.	Типовые программы курса «Высшая математика». Рекомендуемая литература...............................
	2.1.	Программа курса «Высшая математика» для инженерных специальностей..............................................
	2.2.	Программа курса «Высшая математика» для экономических специальностей..............................................
3.	Контрольные работы.......................................
	3.1.	Правила оформления контрольных работ........................
	3.2.	Выбор варианта контрольной работы...........................
	3.3.	Задания контрольных работ...................................
	К о н т р о л ь н а я р а б о т а № 1................................
	К о н т р о л ь н а я р а б о т а № 2................................
	К о н т р о л ь н а я р а б о т а № 3................................
	К о н т р о л ь н а я р а б о т а № 4................................
4.	Примеры решения задач контрольных работ...........
	4.1.	Решение типового варианта контрольной работы № 1.............
	4.2.	Решение типового варианта контрольной работы № 2.............
	4.3.	Решение типового варианта контрольной работы № 3.............
	4.4.	Решение типового варианта контрольной работы № 4.............

 

 

Учебное издание

 

Высшая математика

 

Программа, методические указания и контрольные задания

для студентов-заочников инженерных и

инженерно-экономических специальностей

приборостроительного факультета

 

В 2-х частях

 

Ч а с т ь I

 

Составители: ИБРАГИМОВ Владислав Ахмедович

СТРЕЛЬЦОВ Сергей Викторович

МЕЛЕШКО Алексей Николаевич

ВИШНЕВСКАЯ Ольга Геннадьевна

 

Редактор Т.Н.Микулик

Подписано в печать 21.01.2000.

Формат 60х84 1/16. Бумага тип. № 2. Офсет. печать.

Усл.печ.л. 5,9. Уч.-изд.л. 4,5. Тираж 200. Заказ 544.

Издатель и полиграфическое исполнение:

Белорусская государственная политехническая академия.

Лицензия ЛВ № 155 от 30.01.98. 220027, Минск, пр. Ф.Скорины, 65.

 

Министерство образования Республики Беларусь