Министерство образования Республики Беларусь 6 страница

 

Тогда

 

Задача 1.2. Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений

 

 

С помощью элементарных преобразований матрицу приведем к трапециевидной форме

 

~ .

 

Следовательно, 2<3 и система имеет бесконечное множество решений, зависящих от 3-2=1 произвольной постоянной. Исходная система эквивалентна

 

 

Откуда .

 

Полагая (произвольной постоянной), имеем

 

, .

 

Задача 1.3. По координатам точек , , найти:

а). Модуль вектора

;

 

.

 

б). Скалярное произведение векторов и .

.

 

 

в). Проекцию вектора на вектор .

 

.

 

г). Координаты точки , делящей отрезок в отношении 1:3; . Следовательно:

 

 

Задача 1.4. Даны векторы Необходимо:

 

а). Найти модуль векторного произведения .

= ;

 

.

б). Проверить, будут ли коллинеарны или ортогональны два вектора и .

 

Условие коллинеарности двух векторов

Т.к. то вектора и неколлинеарны.

Условие ортогональности двух векторов

 

Т.к. то вектора неортогональны.

 

в). Вычислить смешанное произведение трех векторов

 

.

 

.

г). Проверить, будут ли компланарны три вектора

Вектора компланарны, если

Из пункта в) следовательно, эти векторы некомпланарны.

 

Задача 1.5. Даны четыре точки

Составить уравнения:

а). Плоскости

Уравнение плоскости по трем точкам имеет вид

 

, откуда .

 

б). Прямой

Уравнение прямой по двум точкам

 

откуда

 

 

в). Прямой , перпендикулярной к плоскости .

Из уравнения плоскости следует, что вектор || откуда уравнение имеет вид

 

г). Прямой , параллельной Значит, вектор и уравнение этой прямой имеет вид

 

д). Плоскости, проходящей через точку перпендикулярно к прямой

Вектор перпендикулярен искомой плоскости.

Значит, - ее уравнение, которое приводится к виду

 

е). Вычислить - угла между прямой и плоскостью .

; ;

 

.

 

ж). Косинус угла между координатной плоскостью и плоскостью .

Вектор а вектор . Поэтому

 

.

 

Задача 1.6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки и параллельно прямой, проведенной через точки и

 

Найти вектор , перпендикулярный искомой плоскости. Вектор и следовательно, в качестве вектора можно взять

 

; ;

 

 

Тогда уравнение искомой плоскости которое приводится к виду

 

Задача 1.7. Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых и перпендикулярно первой прямой. Найдем точку :

Вектор параллелен искомой прямой. Поэтому ее уравнение запишем как оно приводится к виду

 

Задача 1.8. Определить вид поверхности и построить ее.

 

а) . Приведем уравнение к каноническому виду

 

 

Получим уравнение однополостного гиперболоида, ось которого совпадает с полуоси эллипса в плоскости Y0Z равны и Построим поверхность.

 

Z

 

 

 

 

Y

 

 

 

 

X

 

б)

Приведем уравнение к каноническому виду .

Это уравнение конуса второго порядка, ось которого совпадает с осью 0Z.

 

 

Z

 

 

Y

 

X

 

 

4.2. Решение типового варианта контрольной работы N 2

 

Задача 2.1. Найти , если , , .

Решение. а). Для имеем

 

 

.

 

б). Для .

 

 

.

 

в). Для .

 

 

 

 

.

 

Задача 2.2. Найти , если

 

 

Решение

а).

 

 

 

 

 

 

б). Дифференцируя уравнение для , имеем

 

,

откуда

.

 

Дифференцирование последнего соотношения дает

 

 

 

.

 

Внося выражение для , находим

 

.

в). Первая производная заданной параметрически функции вычисляется по формуле

 

.

 

Здесь

,

откуда

.

 

Вторую производную вычислим по формуле

 

 

 

 

.

 

Задача 2.3. Вычислить предел, пользуясь правилом Лопиталя:

 

.

 

Решение. а). Искомый предел является неопределённостью типа

По правилу Лопиталя

 

 

.

б). Предел является неопределённостью вида поэтому вначале его надо преобразовать к виду или :

 

.

 

К последнему (типа ) можно применять правило Лопиталя:

 

.

 

Полученный предел вновь является неопределенностью поэтому повторное применение правила дает

 

.

 

в). Предел является неопределенностью вида к которой удобно применять следующий прием. Обозначим

 

.

 

Тогда

. (1)

Вычислим вспомогательный предел

 

 

.

 

Искомый предел согласно (1) равен

 

.

 

Задача 2.4. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение. Областью определения является вся действительная ось . Для отыскания участков монотонности находим

 

.

 

Тогда при (интервал возрастания), при (интервал убывания). Точка является стационарной, поскольку При переходе через производная меняет знак с плюса на минус, поэтому при функция имеет локальный максимум.

Для отыскания участков выпуклости используется вторая производная

 

.

 

При или будет и функция вогнута; при и функция выпукла.

Вертикальных асимптот функция не имеет. Для отыскания наклонных асимптот вычислим

.

 

Поэтому при функция имеет асимптоту

Результаты исследования с учетом четности функции показаны на графике

 

Y

 

 

2

 

1

X