Министерство образования Республики Беларусь 7 страница

О

 

4.3. Решение типового варианта контрольной работы N 3

 

Задача 3.1. Найти градиент и уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности в точке .

 

.

 

Решение. Обозначим

Тогда

 

 

 

;

 

.

 

Величина градиента

 

.

 

Уравнение касательной плоскости, имеющей нормальный вектор (7,-4,-19) и проходящей через , запишется

 

,

или

.

 

Нормальная прямая имеет направляющий вектор (7,-4,-19) и проходит через , поэтому ее уравнения

 

.

 

Задача 3.2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области D, ограниченной заданными линиями:

 

 

Решение. Область D показана на рисунке (треугольник OAB).

 

y

B(0,6)

 

D

 

 

1 С

0 2 A(3,0) x

 

 

Cтационарные точки являются решениями системы уравнений

 

,

 

откуда находим точку , принадлежащую, как видно из рисунка, области . В этой точке . (2)

Исследуем функцию на границе области D.

Отрезок ОА. Здесь и Стационарные точки определяются из уравнения откуда В этой точке

 

. (3)

На концах отрезка

 

, . (4)

 

Отрезок АВ. Здесь и Из уравнения находим и

 

. (5)

 

При имеем

. (6)

 

Отрезок ОВ. Здесь Поскольку при функция не имеет стационарных точек. Значения ее при были вычислены в (4), (6).

Из результатов (2)-(6) заключаем, что

 

 

причем наибольшее значение достигается в точке А(3,0), наименьшее - в точке С(2,1).

 

 

Задача 3.3. Найти полный дифференциал функции

 

Решение. Частные производные равны

 

Поэтому

.

 

Задача 3.4. Найти частные производные второго порядка функции

Решение. Сначала находим частные производные первого порядка:

 

 

Затем, дифференцируя найденные частные производные, получим частные

производные второго порядка данной функции:

 

 

 

 

 

 

 

Задача 3.5. Вычислить значение производной сложной функции

 

где

,

 

при с точностью до двух знаков после запятой.

 

Решение. Так как сложная функция зависит от одной переменной через промежуточные переменные и , которые в свою очередь зависят от одной переменной то вычисляем полную производную этой функции по формуле

 

.

 

 

.

 

Вычислим и при :

 

 

.

 

Подставим значения в выражение производной. Получим

 

.

 

 

4.4. Решение типового варианта контрольной работы № 4

 

Задача 4.1. С помощью интегрирования по частям вычислить неопределенный интеграл от функции вида

Решение. Поскольку

 

 

искомый интеграл равен

 

 

Задача 4.2. Вычислить неопределенный интеграл с помощью разложения на простейшие дроби подынтегральной функции

Решение. Поскольку степень многочлена в числителе не меньше степени знаменателя, следует выполнить деление:

 

.

 

Правильную дробь разложим на простейшие дроби

 

.

 

Методом неопределенных коэффициентов находим

 

,

откуда

.

 

Решая эту систему уравнений, имеем

.

 

Искомый интеграл равен

 

 

Задача 4.3. Вычислить с помощью подстановки неопределенный интеграл от функции .

Решение. Выполним подстановку Разрешая уравнение относительно , находим: .

Тогда искомый интеграл запишется:

Разлагая подынтегральное выражениe на простейшие дроби

 

 

и раскрывая скобки в равенстве

 

,

 

приходим к соотношению

 

 

 

Система уравнений относительно запишется

 

 

Решая ее методом Гаусса, находим

Искомый интеграл равен:

 

.

 

Задача 4.4. Вычислить с помощью подстановки неопределенный интеграл от функции .

Решение. Универсальной является подстановка для которой нетрудно проверить равенства

 

 

Поэтому искомый интеграл сводится к случаю интегрирования рациональной дроби

 

 

. (7)

 

Однако в ряде случаев более удобны подстановки:

 

(1) Тогда ;

(2) Тогда ;

(3) Тогда .

 

Подстановки 1,2 приводят к подынтегральным выражениям, содержащим радикал, и поэтому нецелесообразны. Для подстановки 3 приходим к интегралу, более простому, чем (7), и легко приводящемуся к табличному:

 

.

 

Задача 4.5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

 

а)

б)

 

Решение. а). Рассмотрим вспомогательную функцию на отрезке Площадь вычисляется по формуле

 

Исследуем Очевидно, что Поскольку

 

,

 

нетрудно проверить, что достигает в точке локального минимума, причем Кроме того, Поэтому наименьшее значение на [0,2], равное , положительно, и, значит, Имеем

 

 

Вычисляя интеграл по частям, находим

 

 

 

 

Поэтому

б). Здесь на Имеем , и, следовательно, меняет знак. Найдем интервалы, где она положительна или отрицательна. Отыскивая корни уравнения находим значение поэтому при и при Искомая площадь равна:

 

 

Вычисляем неопределенный интеграл

 

Тогда

 

 

 

Задача 4.6. Вычислить площадь, ограниченную кривой в полярной системе координат.

 

Решение. Кривая определена для тех значений из интервала (или ), при которых выполняется условие Неравенство имеет решения или

 

. (8)

 

Области (8) принадлежат интервалу при значениях т.е.

 

 

Площадь вычисляется по формуле

 

 

 

Вычисляя неопределенный интеграл

 

 

находим

 

.

 

Задача 4.7. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

 

Решение. Согласно определению несобственного интеграла с бесконечным пределом имеем

 

.

 

Поскольку корнями трехчлена в знаменателе будут то

 

.

 

Методом неопределенных коэффициентов находим , откуда Поэтому

 

 

Значение несобственного интеграла равно

.

 

Задача 4.8. Вычислить массу неоднородной пластины, ограниченной заданными линиями и имеющей поверхностную плотность

 

D:

 

Решение. Вид области показан на рисунке.

 

Y

8

 

 

y=8x²

X

0 D 1

 

 

y= -x

-2

 

 

Масса пластины запишется с помощью двойного интеграла