Механика.

 

1.1. Скорость укорочения мышцы описывается урав­нением , где x ₀– полное укорочение мышцы; x – укорочение мышцы в данный момент; B – постоянная, зависящая от нагрузки. Записать закон сокращения мышцы x = x(t), если в момент времени t = 0 укорочение мышцы было равно нулю.

1.2. Движение летчика при катапультировании из реактивного самолета приближенно можно описать фор­мулой м. Определить скорость и ускорение летчика через 2 с после катапультирования.

1.3. Уравнение вращательного движения твердого тела имеет вид: , где A = 2 рад, B = 3 рад/с, С = 1 рад/с³. Найти: 1) угол φ, угловую скорость ω и угловое ускорение ε в моменты времени: t ₁ = 1 с, t ₂ = 4 с; 2) среднюю угловую скорость ω_ср за промежуток времени Δt = t ₂ – t ₁.

1.4. Угловая скорость вращающегося тела изменяется по закону , где A = 2 рад/с², B = 3 рад/с³. На какой угол повернулось тело за время от t ₁ = 1 с до t ₂ = 3 с?

1.5. Центрифуга, используемая для изучения влияния ускорения на организм человека, совершала 12 об/мин. Затем в течение 5 с число оборотов центрифуги изменилось так, что летчик стал испытывать ускорение 10 g. Определить угловое уско­рение движения летчика, если он находился на расстоянии 7 м от оси вращения центрифуги.

1.6. Частота вращения медицинской центрифуги за 10 с изменилась с 1000 до 2500 об/мин. Определить угло­вое и максимальное центростремительное ускорения на расстоянии 10 см от оси вращения?

1.7. Фреза бормашины вращается с угловой скоростью ω. После выключения бормашины фреза, вра­щаясь равнозамедленно, сделала п оборотов. Определить время от момента выключения до остановки фрезы.

1.8. В ультрацентрифугах скорость смещения молекул исследуемого полимера в направлении от оси вра­щения выражается формулой где b – постоян­ная величина; ω – угловая скорость центрифуги; х –расстояние от оси вращения до движущейся границы оседающего полимера. Определить уравнение движения границы полимера, если в момент времени t = 0 она на­ходилась на расстоянии 0,5см от оси вращения.

1.9. Диск массой т = 5 кг и радиусом R = 0,4 м вращается, делая п = 180 об/мин. Через t = 20 с после начала торможения диск останавливается. Найти момент сил торможения.

1.10. Фигурист вращается, делая n ₁ = 6 об/с. Как изменится мо­мент инерции фигуриста, если он прижмет руки к груди, и при этом частота вращения станет n ₂ = 18 об/с?

1.11. Вентилятор начинает вращаться с постоянным угловым уско­рением ε = 0,3 рад/с² и через t ₁ = 15 с после начала вращения приобретает момент импульса L ₁ = 30 . Найти кинетическую энергию вентилятора через t ₂= 20 с после начала вращения.

1.12. Ротор центрифуги массой 5 кг и радиусом 20 см был раскручен до 900 об/мин. После выключения элек­тродвигателя под влиянием трения ротор остановился через 50 с. Найти момент силы трения, считая его по­стоянным, если ротор имеет вид диска.

1.13. Определить изменение угловой скорости враще­ния фигуриста при переходе в стойку «смирно», если в стойке «арабеск» скорость вращения составила 2 рад/с. Рассчитать работу, выполненную фигуристом при пере­ходе из одной стойки в другую, считая момент инерции в стойке «арабеск» равным 8 кг · м², в стойке «смирно» – 1,2 кг · м².

1.14. Определить максимальную кинетическую энер­гию вращательного движения гимнаста массой 70 кг, выполняющего на перекладине «большие обороты», если в момент прохождения над перекладиной (стойка на ру­ках) его скорость равнялась нулю. Момент инерции тела гимнаста относительно оси, проходящей через его общий центр тяжести (ОЦТ), равен 17 кг · м², а расстояние от ОЦТ до перекладины 100 см.

1.15. Определить момент инерции рычага второго рода в системе для записи величины сокращения мышцы, если он представляет однородный алюминиевый стер­жень длиной 150 и диаметром 2 мм.

1.16. При нагрузке 100 Н скорость изотонического со­кращения мышцы (сокращение при постоянной нагруз­ке) оказалась равной 2,2 см/с. Определить энергию, вы­деляющуюся в виде теплоты при сокращении мышцы. КПД мышцы 40 %, время сокращения 0,2 с.

1.17. При сокращении мышцы на х см затрачивается энергия , где A – теплота активации (по­стоянная величина); Рх –работа, совершаемая мыш­цей; ах –теплота укорочения (а –постоянная вели­чина). Найти мощность, развиваемую мышцей при сокращении.

1.18. Назвать суставы тела человека, имеющие одну степень свободы.

1.19. Сколько степеней свободы допускают сочлене­ния: тазобедренного сустава; плечевой и локтевой ко­стей; лучевой и локтевой костей?

1.20. Сколько степеней свободы имеет предплечье относительно плеча?

1.21. Сколько степеней свободы имеют болт и гайка? Существует ли в теле человека сочленение такого типа?

1.22. Сколько степеней свободы имеет кисть руки от­носительно туловища, если плечо имеет три степени сво­боды относительно лопатки; плече-локтевое и локте-лучевое сочленения – две степени свободы; лучезапястное сочленение – также две степени свободы.

1.23. По законам механики шесть степеней свободы исчерпывают все возможные перемещения тела в про­странстве. Какое значение имеет для человека наличие семи степеней свободы у кисти руки?

1.24. Каковы причины проигрыша в силе большин­ства рычагов, входящих в кинематические цепи тела че­ловека?

1.25. В теле человека встречаются рычаги I и II ро­да. Имеются ли у него рычаги, которые используются как рычаги обоих родов?

1.26. Какая сила необходима для разрушения при сжатии бедренной кости диаметром 30 мм и толщиной стенок 3 мм, если предел прочности кости 1,4·10⁸ Па?

1.27. Определить толщину стенки большой берцовой кости диаметром 28 мм, если ее разрыв произошел при нагрузке 23,1·10³ Н. Предел прочности кости принять равным 9,8·10⁷ Па.

1.28. Определить абсолютное удлинение сухожилия длиной 4 см и диаметром 6 мм под действием силы 31,4 Н. Модуль упругости сухожилия принять равным 10⁹ Па.

1.29. При экспериментальном исследовании зависимо­сти напряжения от удлинения для изолированной по­коящейся мышцы было установлено, что при l / l ₀ = 1,4 напряжение составило 7·10⁵ Па. Определить модуль Юнга.

1.30. Мышца длиной 10 см и диаметром 1 см под дей­ствием груза 49 Н удлинилась на 7 мм. Определить мо­дуль упругости мышечной ткани.

1.31. Определить силу, необходимую для удлинения сухожилия сечением 4 мм² на 0,02 от его первоначальной длины. Модуль Юнга считать равным 10⁹ Па.

1.32. Модуль упругости протоплазменных нитей, получившихся вытягиванием протоплазмы у некоторых ти­пов клеток с помощью микроигл, оказывается равным 9·10³ Па при комнатной температуре. Определить напря­жение, действующее на нить при растяжениях, не превышающих 20 % ее первоначальной длины.

1.33. Нагрузка на бедренную кость, составляющая 1800 Н, при сжатии вызывает относительную деформа­цию, равную 5·10 ^-4. Определить эффективную площадь поперечного сечения кости, если модуль упругости ее равен 22,5·10⁹ Па.

1.34. Какая работа совершается при растяжении на 1 мм мышцы длиной 5 см и диаметром 4 мм? Модуль Юнга для мышечной ткани принять равным 9,8·10⁶ Па.

1.35. Найти потенциальную энергию, приходящуюся на единицу объема кости, если кость растянута так, что напряжение в ней составляет 3·10⁹ Па. Модуль упру­гости кости принять равным 22,5·10⁹ Па.

1.36. Вычислить работу, совершаемую спортсменом при растяжении пружины эспандера на 70 см, если из­вестно, что при усилии в 10 Н эспандер растягивается на 1 см.

1.37. Написать уравнение гармонического колебания, если ампли­туда ускорения a_m = 50 см/с², частота колебания ν = 0,5 Гц, смещение точки от положения равновесия в начальный момент времени x ₀ = 25 мм. Найти амплитуду скорости.

1.38. Написать уравнение гармонического колебания, если ампли­туда скорости J _m = 63 см/с, период колебаний Т = 1 с, смещение точки от положения равновесия в начальный момент времени равно нулю. Найти амплитуду ускорения, частоту колебаний.

1.39. Материальная точка массой т = 5 г колеблется согласно уравнению х = 10 cos (2 t + φ₀), где х выражается в сантиметрах. Найти максимальную силу, действующую на точку, и полную энер­гию.

1.40. Уравнение колебаний материальной точки массой m = 16 г имеет вид: х = 2 sin (π t /8 + π/4), где х выражается в сантиметрах. Определить кинетическую, потенциальную и полную энергию точки через Δ t = 2 с после начала колебаний.

1.41. Барабан электрокимографа диаметром 16 см вращается с линейной скоростью 0,8 см/с. Пишущий эле­мент совершает колебания с частотой 1 Гц. Сколько пол­ных колебаний будет записано на ленте за время одного оборота барабана?

1.42. Пишущий элемент регистрирующего прибора совершает колебания по закону х =2 sin π (t - 0,4) (см). Определить амплитуду, период и начальную фазу коле­бания. Через какое время после начала отсчета пишу­щий элемент будет проходить положение равновесия?

1.43. Камертон издает звук частотой 400 Гц. Опре­делить максимальные скорость и ускорение конца ветви камертона, если амплитуда равна 0,2 мм.

1.44. Записать уравнение гармонического колебательного движения точки, если ее максимальное ускоре­ние 158 см/с², период колебаний 1 с и смещение точки от положения равновесия в начальный момент времени 2 см.

1.45. Тело массой 0,01 кг совершает гармонические колебания, уравнение которых имеет вид см. Найти значение, квазиупругой силы в момент времени t = 0,1 с.

1.46. Уравнение движения точки массой m имеет вид: . Найти зависимость кинетической и потенциальной энергии от времени.

1.47. Чем объяснить, что при работе клепальным молотком 6-КМ, частота вибрации которого составляет 12 Гц, амплитуда, замеренная на локте, значительно пре­вышает амплитуду вибрации самого инструмента (соот­ветственно 1,16 и 0,33 мм)? Будет ли наблюдаться такое явление при частоте вдвое большей?

1.48. Насос для перекачки крови в аппарате «искус­ственное сердце» имеет диафрагму массой 10 г, совер­шающую затухающие колебания, описываемые уравне­нием (см). Под действием внешней пе­риодической силы ее колебания стали описываться урав­нением (см). Записать уравнение внеш­ней периодической силы. Какова разность фаз между действующей силой и смещением?

1.49. Два одинаково направленных колебания заданы уравнениями: , . Записать уравнение результирующего колебания.

1.50. Два одинаково направленных гармонических колебания с одинаковой частотой и амплитудами А ₁= 3 см и A ₂ = 5 см скла­дываются в одно гармоническое колебание с амплитудой А = 7 см. Найти разность фаз складываемых колебаний.

1.51. На вертикальный вход электронного осциллог­рафа подаются напряжения U ₁ = 4 cos 314 t и U ₂ = 4 cos (314 t + α). Определить результирующее колебание.

1.52. Логарифмический декремент затухания камертона, колеб­лющегося с частотой ν = 100 Гц, равен λ = 0,002. Через, какой промежуток времени амплитуда колебаний камертона уменьшится в 100 раз?

1.53. Логарифмический декремент затухания маятника равен λ = 0,02. Во сколько раз уменьшится амплитуда после 50 полных колебаний?

l.54. Амплитуда колебаний маятника уменьшается в 10 раз за 100 полных колебаний. Определить логарифмический декремент затухания. Через сколько колебаний амплитуда маятника умень­шилась в e раз?

1.55. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний имеет вид: . Определить коэффициент зату­хания и круговую частоту этих колебаний.

1.56. Источник звука совершает колебания по закону: . Скорость распространения звука равна 340 м/с. Записать уравнение колебаний для точки, находящейся на расстоя­нии y = 102 м от источника. Потерями энергии пренебречь, волну считать плоской.

1.57. Источник совершает колебания по закону: х = 5 sin 3140 t, где х выражается в метрах. Определить смещение от положения равновесия, скорость и ускорение точки, находящейся на расстоянии у = 340 м от источника, через Δ t = 1 с после начала колебания. Скорость распространения волны J = 340 м/с.