Операции над множествами

Объединением множеств A и B (A È B) называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств, т.е A È B = { а ½ а Î A или а Î B }.

Пересечением множеств A и B (A Ç B) называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих каждому из этих множеств, т.е. А Ç B = { а ½ а Î А и а Î B }.

Разностью множеств А и B (А \ B) называется множество, состоящее из всех элементов множества A, не принадлежащих множеству B, т.е.

А \ B ={ а ½ а Î А и а Ï B }.

Дополнением множества А в универсальном множестве U (, ØА) называется множество, состоящее из всех элементов универсального множества U, не принадлежащих множеству А, т.е.

.

Симметрической разностью множеств A и B (обозначается A Å B или ) называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих в точности одному из этих множеств, т.е.

A D B = { а ½ либо а Î A и а Ï B, либо а Ï A и а Î B },

A D B = (A \ B) È (B \ A) = (A È B) \ (A Ç B).

Операции над множествами можно проиллюстрировать графически с помощью кругов Эйлера (их также называют диаграммами Венна). В этом случае исходные множества изображают кругами или любыми другими замкнутыми линиями, а множество-результат выделяют штриховкой. Универсум обозначают прямоугольником.

 

 

Например:

1) Пусть множества и заданы на универсуме

, .

Тогда, , , ,

, ,

, .

2) Пусть , .

Тогда, ,

, , ,

, .

3) , , . Изобразить графически на диаграммах Эйлера множество .

, , но , поэтому результат этой операции штриховкой отметить.

Основные законы алгебры множеств:

1) Коммутативные законы

2) Ассоциативные законы

3)Дистрибутивные законы

4)Законы с Æ; и U

А È Æ; = А А Ç U = А А È = U

А Ç Æ; = Æ А È U = U А Ç = Æ;

= Æ; = U

6) Законы идемпотентности

, ,

7) Законы поглощения

А È (А Ç В) = А А È ( Ç В) = А È В

А Ç (А È В) = А А Ç ( È В) = А Ç В

8) Законы де Моргана

9) Законы склеивания