Свойства бинарных отношений

 

Пусть задано на множестве , .

1. Рефлексивность: .

Отношение r на множестве X называется рефлексивным, если для любого имеет место ,то есть каждый элемент находится в отношении r к самому себе.

Матрица рефлексивного отношения имеет единичную главную диагональ, а граф рефлексивного отношения – имеет петлю возле каждого своего элемента.

Например:

,

,

,

.

На множестве людей: “быть родственником”, ”обучаться в одной студенческой группе ”.

На множестве множеств: A Í B, A=B.

Антирефлексивность:.

Отношение r на множестве X называется антирефлексивным, если не существует такого, чтоимеет место ,то есть ни один элемент не находится в отношении r к самому себе.

Матрица антирефлексивного отношения имеет нулевую главную диагональ, а граф – не имеет ни одной петли.

Например:

,

,

.

На множестве людей: “быть родителем”, ”быть ребенком”.

На множестве множеств: A Ì B, A¹B.

3. Нерефлексивность: .

Симметричность:.

Отношение r на множестве X называется симметричным, если для всех и из Х,из принадлежности (x,y) отношению r следует, что и принадлежит отношению r.

Матрица симметричного отношения симметрична относительно главной диагонали, а граф – для каждой дуги (x,y) существует обратная дуга (y,x).

Например:

,

,

.

На множестве людей: “быть родственником”, ”обучаться в одной студенческой группе ”. Отношение " брат " является симметричным на множестве мужчин и не является симметричным на множестве всех людей.

На множестве множеств: , .