Антисимметричность: .

Отношение r на множестве X называется антисимметричным, если для всех и из Х,из принадлежности (x,y) и (y,x) отношению r следует, что .

Матрица антисимметричного отношения не имеет ни одной симметричной единицы относительно главной диагонали, а граф – для каждой дуги (x,y) не существует обратная дуга (y,x) и наоборот.

 

 

Свойства симметричности и антисимметричности не являются взаимоисключающими, примером может служить отношения равенства на множестве натуральных чисел.

Например:

,

,

,

,

.

На множестве людей: “быть выше”, ”быть равным”.

На множестве множеств: , , .

Транзитивность:.

Отношение на множестве называется транзитивным, если для всех измножества ,из принадлежности и отношению r следует, что также принадлежит r.

Например:

,

,

,

,

,

.

На множестве людей: “быть выше”, ”обучаться в одной студенческой группе”.

На множестве множеств: , , .

Отношение r на множестве X не является транзитивным, если существует, хотя бы один пример того, что для некоторых х,y,z множества Х из принадлежности (x,y) и (y,z) отношению r не следует, что (x,z) также принадлежит r.

Например.

1) .

Отношение не является транзитивным, потому что из принадлежности этому отношению пар и , не следует, что и пара принадлежит отношению .

2) Пусть задано двухэлементное множество определим все бинарные отношения на этом множестве: . Для всех отношений, заданных на множестве , определить наличие или отсутствие основных свойств.

Введем следующие обозначения:

а) рефлексивность – Р;

б) антирефлексивность – АР;

в) симметричность – С;

г) антисимметричность – АС;

д) транзитивность – Т.

 

№		Р	АР	С	АС	Т
		-	+	+	+	+
		-	-	+	+	+
		-	+	-	+	+
		-	+	-	+	+
		-	-	+	+	+
		-	-	-	+	+
		-	-	-	+	+
		+	-	+	+	+
		-	+	+	-	-
		-	-	-	+	+
		-	-	-	+	+
		-	-	+	-	-
		+	-	-	+	+
		+	-	-	+	+
		-	-	+	-	-
		+	-	+	-	+

Отношение порядка – антисимметрично, транзитивно.