Отношение нестрого порядка ( ) – рефлексивно, антисимметрично, транзитивно.

Например:

,

.

На множестве множеств: , .

Отношение строгого порядка () – антирефлексивно,
антисимметрично,
транзитивно.

Например:

,

.

На множестве множеств:“ ”.

- “x предшествует y в смысле отношения строгого порядка”,

Xпредшествуетyв смысле отношения нестрогого порядка”.

Два элемента и некоторого упорядоченного множества (множества, на котором существует отношение порядка) сравнимы между собой, если предшествует , и/или предшествует в смысле отношения порядка.

Если в упорядоченном множестве существует пара элементов x и y, для которой ни не предшествует , ни не предшествует , тогда говорят, что эти два элемента несравнимы между собой в смысле этого.

В отношениях полного порядка все элементы сравнимы между собой, а в отношениях частичного порядка не все элементы сравнимы между собой.

Например:

Отношения полного порядка:

,

.

Отношения частичного порядка:

,

,

на множестве множеств: , , .

Отношение эквивалентности (~) – рефлексивно,
симметрично,
транзитивно.

Класс эквивалентности для элемента : .

Например:

,

.

На множестве людей: “иметь одно имя”, ”обучаться в одной студенческой группе”.

На множестве множеств: .

Отношение эквивалентности разбивает – множество, на котором задано отношение на непересекающиеся, которые называют классами эквивалентности.

Элементы, принадлежащие одному классу, находятся между собой в отношении эквивалентности, элементы из разных классов в отношении эквивалентности между собой не находятся.

Например:

Отношение задано на множестве списком пар .

Область определения: .

Область значений: .

Отношение – рефлексивно, симметрично, транзитивно, следовательно, это отношение эквивалентности.

Классы эквивалентности:

.

Например:

Отношение .

Это отношение называют отношением сравнения по модулю на множестве натуральных чисел.

означает, что и имеют одинаковый остаток при делении на .

Отрезок натурального ряда .

Отношение сравнения по модулю 3 на :

.

Область определения и область значений: .

Отношение – рефлексивно, симметрично, транзитивно.

Отношение – отношение эквивалентности.

Классы эквивалентности: .

Пусть – некоторое бинарное отношение .

Обратным отношением называется отношение, которое определяется следующим образом:

Обратное отношение получается путём перестановки значений в парах исходного отношения.

Пусть и – произвольные бинарные отношения такие, что где – некоторые множества.

Композиция отношений и – это таке бинарное отношение которое состоит из упорядоченных пар для которых существует такой элемент, что выполняются условия:

Например.

.

.

.

.