Критерии. Если участник нашёл (хотя бы в одном столетии) пять серий лихих лет — 2 балла, а если ещё и правильно сосчитал эти годы — не менее 4 баллов

Если участник нашёл (хотя бы в одном столетии) пять серий лихих лет — 2 балла, а если ещё и правильно сосчитал эти годы — не менее 4 баллов. Если в решении фигурируют хотя бы три из этих пяти серий — не менее 1 балла.

Простое выписывание всех лихих годов какого-нибудь столетия по возрастанию (или в беспорядке) баллов не приносит.

 

Мелкие недочёты.

Рассмотрены только четырёхзначные годы — не снижаем.

С какого года начинается столетие (xy00 или xy01), неважно.

Не указано, что при x=y всё очевидно (а просто всё написано так, как будто x и y различны) — минус 1 балл.

Для удобства обозначений рассмотрено какое-то одно столетие (но годы упорядочены по сериям, а не по возрастанию), и написано, что в других столетиях аналогично — минус 1 балл (а вот если объяснено, что и почему аналогично, то можно не снижать).

Фразу «легко убедиться, что все перечисленные годы различны» можно не писать.

 

Пример решения на 6 баллов (потому что для одного столетия). Если разряды сотен и тысяч совпадают, то всё ясно. Пусть они различны. Рассмотрим на примере XXI столетия. В нём лихие годы: 2000, 2010, 2020, …, 2090; 2000, 2001, 2002, …, 2009; 2000, 2011, 2022, …, 2099; 2020, 2021, …, 2029; 2002, 2012, 2022, …, 2092. Всего их 44, поскольку 2000, 2002, 2020, 2022 совпадают, а остальные восемь во всех сериях различны. То же будет и в других столетиях.

Задача 2

(5)

2A. На круглом торте стоит 6 свечей. Тремя разрезами торт разрезали на части, причём в каждой части оказалась ровно одна свеча. Сколько свечей могло стоять в каждой из частей, которые образовались после первого разреза? Объясните, почему никакие другие варианты невозможны.

 

Решение. Возможны два варианта: а) в обеих частях по три свечи (3+3); б) в одной части две свечи, в другой — четыре (2+4). Примеры см. на рисунках, первый разрез показан жирной линией.

Остальные варианты (1+5 или 0+6) невозможны. Действительно, пусть после первого разреза в какой-то части осталось хотя бы пять свечей. Тогда вторым разрезом она будет разрезана максимум на две части, поэтому в какой-то из них будет хотя бы три свечи. Третьим разрезом нельзя сделать так, чтобы каждая из этих свечей оказалась в отдельном куске.

 

Критерии. Верный ответ (то есть оба варианта: 3+3 и 2+4) стоит 1 балл; при верном ответе пример к каждому из вариантов стоит ещё по 1 баллу. Если в примерах не показано, какой разрез сделан первым — минус балл.

Доказательство того, что других вариантов нет, стоит 4 балла. При этом утверждение о том, что двумя разрезами нельзя разделить кусок на пять частей, считаем очевидным. Поэтому в качестве доказательства достаточно фразы «Если в одной из частей осталось пять свечей, то двумя оставшимися разрезами эти пять свечей нельзя распределить по разным частям».

 

(6)

B. На круглом торте стоит 7 свечей. Тремя разрезами торт разрезали на части, причём в каждой части оказалась ровно одна свеча. Сколько частей было после второго разреза и сколько свечей стояло в каждой из них?

 

Решение. Очевидно, количество частей после второго разреза не превосходит четырёх (первый разрез даёт две части, второй делит каждую из них не более чем на два куска).

Заметим, что после второго разреза ни в одном из кусков не могло оказаться три и более свечей, иначе третьего разреза не хватило бы, чтобы все эти свечи оказались в разных частях. Итак, в каждом куске не больше двух свечей.

Тогда должно быть хотя бы четыре куска (иначе в сумме свечей не больше шести), а больше четырёх быть не может. Для четырёх кусков единственный вариант получить 7 свечей — это 2+2+2+1.