Покажите на примерах историю и развитие ферм. В каких отраслях стр-ва эти соор-я нашли применение

Фермы - самые распространенные в современную эпоху конструкции. Их элементы - стержни - сжаты или растянуты. В природе трудно отыскать аналогов фермам, можно с большой долей достоверности утверждать, что они - созданы человеческим разумом. Понимание работы стержней в фермах пришло сравнительно поздно. Уже существовали сами конструкции ферм, а также методики определения рабочих усилий в балках, арках, некоторых типах рам, а разработка методики анализа напряженного состояния стержней ферм только начиналась.

Конструкции ферм возникали из практических потребностей. Жизнь часто ставила задачи перекрыть большой пролет или изготовить балку большой длины, а в распоряжении строителей не оказывалось деталей (материалов) необходимых размеров. Поэтому приходилось соединять имеющиеся детали и создавать конструкцию, составленную из коротких элементов, достаточно “крепкую и прочную”, которая выполняла бы функцию балки.

Мост через Неву. Установка опор в русле реки считалась невозможной из-за ее полноводности, достаточно быстрого течения и ограничения судоходства. Кулибин создал арочный деревянный мост пролетом около 300 метров, составленный из отдельных бревен длиной до 12 метров. Основными несущими элементами моста являлись криволинейные (арочные) фермы. Мост не был построен.

До середины ХIX века фермы развивались по двум направлениям. Во-первых, составляющие детали компоновались так, чтобы образовать промежуточные опоры для коротких балок (переход от отдельных элементов к цельной конструкции - от частного к общему). Во-вторых, стенки балок конструировались решетчатыми. Решетки и пояса собирались из коротких деталей. постепенно увеличивалась ячея решетки, и балка из цельной конструкции переходила к составной из отдельных элементов (осуществлялся переход от общего к частному). Эти два направления вначале независимо, а затем, дополняя и обогащая друг друга, привели к большому разнообразию современных ферм.

Родоначальником первого направления считается Паладио. Он двумя наклонными сжатыми стропилами и одной растянутой стойкой (рис. 9.2,а) создавал опору для двух коротких балок. На такую промежуточную опору можно было установить еще две пары стропил (рис. 9.2.-9.4) и создать новые две опоры. Тогда пролет перекрывался еще более короткими четырьмя балками. Неудобство в выполнении сложного узла соединения двух балок и стойки в одном месте было впоследствии устранено образованием шпренгелей. Элемент Паладио (опора на двух стропилах) явно, но чаще неявно можно выделить во многих фермах (рис. 9.2. в12, г). Применение в строительстве металла позволило заменить сжатые деревянные стропила растянутыми стержнями, подвешенными к пилонам или берегам, а растянутые стойки - сжатыми (рис. 9.2. б7, б8). В развитии второго направления шли от сплошной балки большой высоты и пролета, в которой стенка выполнялась из двух слоев перекрестных плотно прилегающих друг к другу досок, а пояса изготавливались из брусьев со стыковкой врубками, накладками, болтами (рис. 9.2. в9-12).

Раздвинув доски стенки балки Таун получил конструкцию, которую часто называют “дощатой фермой” (рис. 9.2. в9). Мостовые балки Гау, Больмана, Финка, Журавского представляют собой идейное развитие ферм Тауна как балочной конструкции со стенкой сложной структуры (рис. 9.2. в11-12). Ферма при таком подходе создавалась не как сооружение со сжатыми и растянутыми элементами, а как балка со сквозной стенкой. Навье моделировал ферму как балочную систему.

Теория ферм создавалась со второй половины девятнадцатого века. Шведлер показал, что стержни ферм могут работать преимущественно на растяжение и сжатие при определенных условиях. Какими должны быть эти условия, можно установить из следующих рассуждений.

Если в прямолинейном стержне должна быть только продольная сила (сжимающая или растягивающая), то из условия равновесия (собственный вес стержней не учитывается) по его концам должны действовать две равные и противоположно направленные силы. Это может быть только в том случае, когда стержень по концам имеет устройства, не передающие изгиб и кручение. Таким устройством может быть шаровой шарнир. Необходимо исключить также нагрузку по длине стержня.

Таким образом, ферма, в стержнях которой возникают только осевые (продольные) силы, должна состоять из прямолинейных стержней, соединенных между собой шарнирами, а нагрузка в виде сосредоточенных сил должна быть приложена только к узлам. Но если узлы выполнить шарнирными, то появляется возможность изменения геометрической структуры фермы и она теряет способность сопротивляться нагрузке. Следовательно, ферма должна быть геометрически неизменяемой, если не учитывать деформацию стержней. Инженеры приняли расчетную модель фермы в виде шарнирно-стержневой системы. Эта модель настолько упростила задачу определения внутренних усилий рабочего состояния в стержнях, что развитие теории ферм как сооружений со сжатыми и растянутыми элементами пошло быстрыми темпами, ликвидировав существовавшее отставание от методов расчета других стержневых сооружений.

 

 

С появлением такой теории в практике конструирования ферм были сделаны попытки создания действительно шарнирных узлов. В связи с тем, что в узлах ферм сходится большое количество концов стержней, техническое исполнение шарнирного узла и фермы в целом очень усложнялось. Чем ближе конструкция шарниров приближалась к идеальным, тем они становились все более дорогими, по стоимости изготовление шарниров превосходило все остальные расходы.

Дальнейшее углубление предложений Шведлера и подтверждение их на практике, в частности, доказательство того, что при малых взаимных перемещениях узлов, узловой нагрузке и геометрически неизменяемой структуре фермы (если заменить все узлы шарнирами), повороты жестких узлов незначительны и ими можно пренебречь, дало возможность конструировать фермы с жесткими узлами, а пользоваться шарнирно-стержневой расчетной моделью. Это настолько упрощало ее конструктивное решение и расчет, что ферма стала одним из самых распространенных сооружений.

Фермы, как наиболее экономичные сооружения, применяются повсеместно. Трудно определить область строительства, где бы они ни использовались. Всемирно известна, например, величественная вертикальная ферма - Эйфелева башня, высота 300 м. Фермы стали основным элементом в мостостроении. Фермы применяются в самых различных зданиях и сооружениях. это - пролетные строения мостов, стропильные конструкции, конструкции подъемно-транспортных средств и другие. Конструктивное исполнение ферм определяется их назначением. Несмотря на большое разнообразие в фермах достаточно определенно выделяются элементы с одинаковыми функциями и, следовательно, наименованием.

	Рис. 9.4. Схемы типовых мостовых ферм, разработанных Н.А. Белелюбским (1884 г.) под железнодорожный путь

 

46. Покажите на примерах элементы и типы ферм. Какова расчетная модель фермы при определении внутр-х усилий в ее стержнях

В направлении большего габаритного размера (длины) ферму ограничивает последовательность стержней, называемая поясом. В зависимости от ориентации пояс может быть верхним, нижним, правым, левым, от геометрического исполнения - наклонным, ломаным (полигональным), выпуклым, вогнутым и др. Стержни, наполняющие ферму между ее поясами, образуют решетку. В решетке выделяются стойки (вертикальные элементы) и раскосы. Как и в большинстве строительных конструкций, соединения стержней фермы носят названия узлов.

В соответствии с общепринятой для всех конструкций терминологией расстояние между опорами называют пролетом, а габаритный размер в направлении перпендикулярном длине - высотой. Расстояние между двумя соседними узлами поясов имеет специфическое название - панель.

Если направление реакций в опорах фермы не отличается от реакций в соответствующей балке (имеющей такие же, как ферма опоры, нагрузку и пролет), то такую ферму называют балочной. Если от вертикальной нагрузки в ферме возникают и горизонтальные составляющие реакции (распор), то ферму называют распорной или арочной (иногда рамной).

Когда все оси стержней фермы и нагрузка лежат в одной плоскости, ферму называют плоской, если какое-либо из этих условий не соблюдается- пространственной.

Расчетная схема фермы при определении усилий в ее стержнях

Основной особенностью ферм является то, что в их элементах независимо от конструктивного исполнения узлов преобладают продольные усилия (постоянные по длине каждого стержня). В связи с этим при вычислении усилий в качестве модели фермы принимается шарнирно- стержневая система.

Но такая работа и, следовательно, такое представление фермы возможны только при том условии, что повороты узлов фермы незначительны и ими можно пренебречь. Это может быть только при выполнении двух требований к конструктивному исполнению самих ферм и элементов, опирающихся на них:

во-первых, нагрузка от опирающихся на ферму конструкций должна сосредотачиваться в узлах;

во-вторых, после постановки полных шарниров во все узлы структура фермы должна оставаться геометрически неизменяемой, то есть не должно быть перемещения узлов без деформации стержней.

Выполнение первого условия проверяется визуально при анализе условий опирания на ферму других несущих конструкций (балок, плит и др.). Опоры этих конструкций должны точно совпадать с узлами ферм. Если, например, на ферму опираются ребристые плиты покрытия, то опорное ребро должно быть поставлено в узел фермы, если же плиты (или настил) плоские, то они должны быть уложены или подвешены на прогоны, проходящие через узлы фермы (рис. 9.5).

Для обеспечения геометрической неизменяемости фермы требуется:

установить необходимое количество стержней - связей (необходимое условие), “правильно” их расставить (достаточное условие).

Необходимое количество связей легко подсчитать исходя из следующих соображений.

Каждый узел на плоскости имеет два независимых перемещения - две степени свободы (в пространстве - три). Количество степеней свободы принято обозначать буквой W. Чтобы устранить эти перемещения, на пути каждого из них надо поставить какие-то препятствия - связи. Самой простой связью, устраняющей одно перемещение, является стержень. Тогда если в ферме имеется У узлов, то для их полного закрепления необходимо ввести не менее 2 У стержней для плоской фермы и 3 У - для пространственной. Таким образом, проверка наличия необходимого количества связей сводится к проверке выполнения условия

W = 2У - С £ 0 - для плоской фермы (9.1)

и W = 3 У - С £ 0 - для пространственной,

где С - количество стержней в ферме, включая и опорные.

Совершенно очевидно, что если W > 0, то связей в системе не достаточно и система геометрически изменяема. Если W £ 0, то сооружение может быть геометрически неизменяемым, если оно имеет приемлемую структуру. В том случае, когда W = 0, сооружение имеет только необходимое количество связей для сохранения геометрической неизменяемости. Когда W < 0, система имеет так называемые “лишние” связи.

Расстановку связей проверим, используя правила образования геометрически неизменяемых систем. Выберем за основу любой треугольник, например, 1-2-6. По третьему правилу три стержня, соединенные тремя шарнирами, не лежащими на одной прямой, составляют жесткий (геометрически неизменяемый) диск. К этому диску двумя стержнями, не лежащими на одной прямой, и, следовательно, в соответствии с первым правилом, жестко крепится шарнирный узел 5, далее к образованной таким образом жесткой системе аналогично крепится узел 4 и затем узел 3. Таким образом, ферма 1-2-3-4-5-6 представляет собой жесткий диск, который тремя не пересекающимися стержнями (по второму правилу жестко) крепится к основанию. Следовательно, ферма геометрически неизменяема.

 

47. Какие вы знаете способы нахождения усилий в стержнях ферм. На чем основаны? Покажите на примере как использовать тот или иной способ.

Статические способы

Так как усилия в стержнях ферм только продольные и постоянные по длине, то каждый из них можно считать связью. Поэтому применим к ферме методику анализа усилий, основанную на концепции сил. Разрежем все стержни фермы и заменим их усилиями. В результате получим самоуравновешенную систему сил. Условия равновесия должны выполняться, как в общем для всей системы, так и для каждого ее элемента в отдельности. Если рассматривать равновесие каждого узла, то как для сходящейся системы сил, для него можно составить два уравнения равновесия для плоской системы или три для пространственной. Если при рассмотрении равновесия всех узлов уравнений статики будет достаточно для определения всех усилий, то такая ферма статически определима. Следовательно, условие статической определимости для ферм выразится формулами:

для плоской фермы:

С_н = 2× У - С = 0, (9.2)

для пространственной:

С_н = 3× У - С = 0, (9.3)

где У - число узлов и, следовательно, 2 ×У и 3× У - число возможных уравнений равновесия соответственно для плоской и пространственной систем; С - число стержней, равное числу неизвестных усилий.

Принципы расчета пространственных и плоских ферм одинаковы.

Система уравнений равновесия всех узлов в статически определимой ферме будет достаточна для нахождения всех усилий. Составление и решение этой системы в общем виде - трудоемкая задача, в практике расчетов разработаны приемы уменьшения трудоемкости, которые получили название методов “вырезания узлов” и “сечений”.

В методе вырезания узлов предусматривается определенный порядок рассмотрения узлов и выбор осей, на которые проецируются силы. Два уравнения равновесия будут входить два неизвестных усилия, то задача определения неизвестных решается. Поэтому в методе вырезания узлов рекомендуется рассматривать узлы последовательно, каждый раз выбирая тот узел, в котором сходятся не более двух стержней с неизвестными усилиями. Чтобы упростить составление и решение уравнений равновесия узлов, предлагается предварительно из условия равновесия фермы в целом найти реакции опор. В этом случае появится возможность проверять найденные усилия, так как реакции могут быть найдены и из условия равновесия узлов. Вторая рекомендация метода вырезания узлов связана с выбором осей, на которые проецируются усилия. Удобно выбирать их так, чтобы они были перпендикулярны хотя бы одному из неизвестных усилий. Тогда в каждое уравнение будет входить только одно неизвестное и задача решения системы уравнений предельно упростится.

Метод вырезания узлов не всегда удобен, особенно в тех случаях, когда необходимо знать усилие лишь в одном стержне, к которому можно подойти только после предварительного рассмотрения целого ряда узлов. Поэтому на практике часто используется и метод сечений. Этот метод предполагает, что разрезаются одновременно не все связи, а только такое их количество, которое может быть определено из общих уравнений статики. Для плоской системы таких уравнений - три. Так как уравнения должны выражать условие равновесия какой-то части фермы, сечение следует провести так, чтобы разрезав три стержня, разделить ферму на две части. Этот метод можно понимать, как рассмотрение суммарного равновесия группы узлов.

Из возможных уравнений равновесия в методе сечений предполагается использовать уравнения моментов относительно так называемой “моментной” точки. Чтобы найти эту точку, необходимо продолжить до пересечения линии действия двух усилий, которые в данный момент нас не интересуют.

Графический способ - это наглядная интерпретация метода вырезания узлов. В нем используются графические приемы разложения и суммирования сил (векторов), которые заменяют процедуру составления и решения систем алгебраических уравнений. Инструментом при графическом расчете являются карандаш и линейка вместо технических средств вычислений, применяемых при аналитическом расчете. При аккуратности построений и измерений усилия, полученные графическим способом, имеют достаточную для практических целей точность, а затрачиваемое на расчет время соизмеримо с расчетом на ЭВМ.

Разберем графический способ на примере. Пусть дана ферма, загруженная сосредоточенными силами в узлах. Опорные реакции будем считать известными. Таким образом, к ферме приложена самоуравновешенная система сил.

Очевидно, обходя все остальные узлы в указанной последовательности, можно определить усилия во всех стержнях фермы. Все силы будут уже известны и его равновесие - проверка графического решения.

Рассматривая равновесие каждого узла в отдельности, в конце концов, можно определить все усилия, но графическое решение при этом будет очень громоздким, одну и ту же силу придется чертить несколько раз. Идея графического метода, но в более компактной простой форме получила воплощение в диаграмме Кремоны - Максвелла.

построение диаграммы удобно разбить на два этапа:

построить многоугольник внешних сил, обходя только внешний контур фермы по внешним полям (здесь все силы известны);

на основе многоугольника внешних сил, начиная обход с точки, которая относится к узлу с двумя стержнями, найти все внутренние поля и определить усилия в стержнях фермы.

Способ плитно-балочной аналогии

Для оперативного анализа усилий в стержнях ферм часто прибегают к плитно-балочной аналогии. При достаточных навыках использование такой аналогии дает вполне удовлетворительные по точности результаты оценки рабочего состояния. При этом протяженные фермы, у которых один габаритный размер больше двух других, заменяются соответствующей балкой или плитой (пластиной), если один размер (высота) мал по сравнению с двумя другими (например, структура). Вначале получают усилия в соответствующей балке или плите, а затем путем простейших пересчетов - усилия в стержнях ферм. Разберем этот способ на примерах.

ü ï ý ï þ

Если провести сечение и рассмотреть силы, действующие на левую отсеченную часть балки или левую отсеченную часть фермы, то равнодействующая нагрузки, приложенная к части фермы и балки будут одинаковы. Приведенная к оси балки равнодействующая эквивалентна изгибающему моменту M₁ и поперечной силе Q₁ в проведенном сечении. Тогда, использовав знакомые уже по методу сечений уравнения равновесия и заменив моменты от нагрузки изгибающими моментами в соответствующей балке с противоположным знаком, а проекцию нагрузки - поперечной силой, также с противоположным знаком, будем иметь:

S m₁ = 0, M₁ + N₁ ×h = 0, N₁ = M₁ /h,

(9.4)

S m₂ = 0, M₂ -N₂ ×h = 0, N₂ = M₂ /h,

S y = 0, Q₁+ N₃ ×;cos ;= 0, N₃ =-Q / cos ;;

где h - высота фермы.

Моменты M₁ и M₂ следует брать в тех точках, которые использовались бы как моментные для определения искомого усилия методом сечений.

Формулы (9.4) подходят для определения усилий в стержнях фермы с параллельными поясами. В случае сложной решетки определить моментную точку бывает трудно, тогда в пределах разрезанной панели выбирается максимальный момент (подсчитанное при этом усилие является приближенным).

Кроме простоты вычислений (или именно благодаря этой простоте) способ балочной аналогии дает возможность мгновенно оценить характер распределения усилий по стержням фермы. Приведенные рассуждения и расчетные формулы показывают, что в стержнях, образующих пояса фермы, наибольшие усилия возникают в середине пролета (где имеют место наибольшие значения моментов), в раскосах и стойках - в начале и в конце пролета (где наибольшие значения имеют поперечные силы).

Расчет пространственной фермы начинается с расчета “соответствующей” плиты, имеющей размеры в плане, условия закрепления и нагрузку, “соответствующие” заданной ферме.

Для расчета часто встречающихся типовых ферм можно использовать и готовые формулы или таблицы. Трудностей в использовании готовых решений не возникает и мы на них останавливаться не будем.

Выбор способа расчета зависит от типа ферм, от требуемой точности, но в большей степени от квалификации расчетчика.

 

48. Покажите на примере как можно проанализировать геом. структуру фермы? На чем основан этот анализ?

49. Как определяются усилия рабочего сост-я в фермах? Как можно оценит прочность стержней фермы?

Рабочими называются экстремальные усилия при всех сочетаниях воздействий или нагрузок (загружений) возможных в заданных условиях эксплуатации. Постоянные и длительно действующие нагрузки дают не изменяющуюся в процессе эксплуатации составляющую усилий рабочего состояния; а кратковременные нагрузки изменяют их в большую или меньшую стороны. Как величина, так и положение временных нагрузок при этом имеют существенное значение.

Например, в ферме, изображенной на рисунке 9.19, временная нагрузка, приложенная к узлу 1, вызывает сжатие стержня 1-2 и растяжение стержня 2-3. Нагрузка, приложенная к узлу 3, наоборот, сжимает стержень 2-3, а растягивает - 1-2. Если нагрузка одновременно приложена в двух точках 1 и 3, то усилия в рассматриваемых стержнях нулевые. Так как на растяжение и сжатие стержни работают неодинаково, то каждое из положений временной нагрузки может оказаться неблагоприятным.

Естественным способом определения наиневыгоднейшего места расположения временной нагрузки является рассмотрение всех или предполагаемых вариантов. Мы должны рассматривать даже такие положения, которые трудно представить в реальности, так как прочность фермы должна быть обеспечена в самых невыгодных условиях.

При определении экстремальных усилий в фермах используем то обстоятельство, что усилия определяются из уравнений, линейно зависящих от нагрузки. В связи с этим можно использовать закон суперпозиции, заключающийся применительно к данной задаче в том, что усилия рабочего состояния можно получить выборкой соответствующих их значений из расчетов на каждую нагрузку в отдельности.

П р и м е р 9.10. Требуется определить усилия рабочего состояния и оценить прочность стержней стропильной фермы промышленного здания пролетом (рис. 9.20). Постоянная нагрузка от веса покрытия, трубопроводов и воздуховодов внутри ферменного пространства равномерно распределена по покрытию и составляет q_п. Временная снеговая нагрузка q_в. К нижнему поясу подвешена кран-балка грузоподъемностью P_в. Расстояние между фермами в покрытии 6 м. Стержни фермы выполнены из уголков.Материал уголков - Ст3.

Р е ш е н и е. Приведение нагрузки на покрытие к узлам фермы. По грузовой площади, соответствующей каждому узлу 3 х 6 м, находим величины узловой нагрузки:

постоянной P_п,

временной снеговой P_вс.

Нагрузка, приложенная к крайним узлам с грузовой площадью, вполовину меньше.

Усилия от постоянной нагрузки. Реакции опор при симметричной нагрузке равны половине ее равнодействующей, то есть

V₁ = V₂

Усилия в стержнях определим способом сечений. Сечения и плечи сил показаны на рисунке 9.20, б, в. В результате получим:

N₁ N₂ N₃ N₄

Усилия от временных нагрузок. Снеговая нагрузка может быть приложена ко всем узлам верхнего пояса фермы одновременно или к каждому из них в отдельности. Необходимо выбрать такое ее положение, которое дает максимальное значение усилия в каждом стержне. Заранее определить это положение трудно, так как стержни по-разному реагируют на приложение той или иной нагрузки. Поэтому приходится искать невыгодное загружение для каждого стержня отдельно. Чтобы как-то формализовать этот поиск, рассчитаем ферму на снеговую нагрузку, прикладывая ее в каждый узел в отдельности, то есть сформируем девять загружений верхнего пояса фермы (см. рис. 9.20). Не приводя подробных вычислений усилий, которые удобно выполнить тем же методом сечений, окончательные результаты сведем в таблицу 9.8.

Максимальная нагрузка от крановой балки будет в том случае, когда она будет находиться точно под фермой, но грузовая тележка может располагаться в любом месте по длине балки. Если тележка расположена у левой подвески балки, то максимальное усилие P_в будет передаваться в левый узел крепления крана. В правый узел максимальное усилие передается, когда тележка находится у правой подвески. Таким образом, необходимо провести еще два расчета фермы на усилие P в узлах крепления крана. По имеющимся значениям усилий можно составить любое их сочетание. Мы должны выбрать из них такое, которое будет иметь экстремальное (минимальное или максимальное) значение. При этом нужно учитывать, что постоянная нагрузка всегда будет находиться на сооружении, а временная может менять положение.

В стержне 1,например, постоянная нагрузка дает величину усилия N_1п, а из величин усилий от временных нагрузок выберем те, которые дадут наибольшие положительные и наибольшие отрицательные значения. Так как вероятность совместного действия всех временных нагрузок меньше единицы, при составлении сочетаний усилия от временных нагрузок умножаются на коэффициент 0,9:

N_1maxN_1min = 567 кН.

Аналогично N_2max N_2min N_3max N_3min N_4max N_4min

 

Оценка прочности. Прочностные характеристики материала стержней определим по таблицам 5.1 и 5.4(см главу 5 настоящего курса). Для стали марки Ст3 предельное расчетное сопротивление на растяжение R ^р_пр, расчетное сопротивление на сжатие зависит от гибкости, для каждого стержня отдельно. Все необходимые для этого результаты предварительного вычисления R

В качестве критерия прочности выберем критерий наибольших нормальных напряжений, то есть:

s_р £ R_пр. (9.5)

Так как стержни фермы работают только на осевые усилия, сечения стержней по длине не меняются и, следовательно, все точки стержня находятся в одинаковых условиях, от условия (9.5) легко перейти к неравенству

s_р×A £ R_пр × A

или N_р £ N_пр,

где A - площадь сечения, N_р - рабочее усилие в стержне, N_{п р} - предельное усилие.

Такой подход позволяет упростить процедуру расчета. Сечения всех стержней заданы, вычислим. На основании значений усилий N_р и N_пр теперь легко сделать выводы о выполнении или невыполнении условия прочности для каждого стержня. Еще раз обратим внимание на то, что для сжатых стержней предельное расчетное усилие определяется с учетом гибкости, то есть если предельное усилие стержня (несущая способность) при растяжении зависит только от прочностных свойств материала и площади поперечного сечения, то на несущую способность сжатых стержней существенно влияет форма сечения. Для наглядности на рисунке 9.21 приведена сравнительная таблица несущей способности стержней, имеющих разную форму поперечного сечения, при сжатии.

Проектировочный расчет фермы чаще всего сводится к подбору размеров сечений стержней при известных усилиях в них, заданном материале и заданной форме сечений. Решение задачи логически вытекает из основного неравенства теории прочности:

s_раб £ s_пред.

С учетом того, что в стержнях фермы действуют только продольные силы N и s = N /A, при заданных s_пред (характеристика материала) и N_раб остается подобрать такое сечение, площадь которого обеспечит выполнение неравенства прочности. Для растянутых элементов получаем простое решение

A ³ N_раб /s_пред.

Решение задачи для сжатых стержней усложнятся, так как предельное напряжение при сжатии s^сж_пред зависит от свойств материала и гибкости стержня, площадь которого должна быть найдена. В этом случае площадь сечения можно определить только подбором. Разберем решение на примере.

П р и м е р 9.11. Для фермы, рассмотренной в примере 9.10, подобрать сечения стержней 6 и 7, если рабочие усилия в них определены; N_{раб. 6} (стержень сжат), N_{раб. 7} (стержень растянут). Напомним, что ферма выполняется из металлических уголков, материал уголков Ст3, предельное расчетное сопротивление растяжению R ^р_пр.

Р е ш е н и е. Для растянутого стержня 7

A ³ N_р /R ^р_пр

Составим стержень из двух равнобоких уголков 100 х 7, площадью 13.8 см² каждый, общая площадь сечения

A = 13.8×2 = 27.6 см² > 27.21 см²;

В ы в о д. условие прочности выполнено.

Для сжатого стержня сначала произвольно зададимся гибкостью l.. Пусть в первом приближении l = 60. Этому значению l соответствует R ^сж_пред = 220 МПа (см. табл.5.5). Тогда из условия прочности

A ³ 987/ 220000 = 0.004486 м² = 44.86 см².

Если составить сечение этого стержня из двух уголков 125 х 10 с площадью каждого из них 24.3 см², то в целом для сечения получим:

A = 48,6 см², i_х = 3.85 см, l = l/i_х = 304 / 3,85 = 78,99.

Так как полученное значение гибкости не совпадает с выбранным первоначально, повторим расчет с новым значением гибкости l = 80. Этому значению гибкости l соответствует R ^сж_пр = 179 МПа, тогда

A ³ 987/179000 = 0.00551 м² = 55.1 см²

Возьмем два уголка 125 х 12,. A = 28,9 х 2 = 57,8 см², i_х = 3,82 см, l = 304/3,82 = 79,6 = 80. Такой точностью решения можно ограничиться и закончить на этом процедуру подбора сечения.