Поперечный изгиб

В отличие от чистого изгиба при поперечном изгибе стержня (рис.4.7) происходит не только удлинение и укорочение составляющих его волокон, но и сдвиг этих волокон относительно друг друга. Поэтому сечение разворачивается по отношению к продольной оси и искривляется (депланирует), перестает быть плоским. Гипотеза плоских сечений позволила во всех рассмотренных выше случаях получить зависимости между деформациями и напряжениями на основе простых геометрических соображений, в данном случае она оказывается неприемлемой. Дмитрий Иванович Журавский (1821-1891) предложил оригинальный выход из этого положения. Он ввел предположение, что депланация сечений при поперечном изгибе не оказывает влияния на нормальные напряжения в поперечных сечениях стержня, то есть, как и при чистом изгибе

, (4.11)

а сказывается только на величине и распределении по сечению касательных напряжений t. По Д.И. Журавскому

, (4.12)

где b - ширина сечения в уровне действия напряжения ;, S - статический момент площади выше (ниже) этого уровня относительно центра тяжести сечения.

Равнодействующие напряжений в сечении - продольная сила N, моменты (изгибающие M_x, M_y и крутящий момент M_z) и поперечная сила (Q_x или Q_y) называются внутренними усилиями и представляют собой интегральные (суммарные) характеристики напряжений.

Для всех остальных видов деформации внутренние усилия можно получить на основе выведенных формул (4.1) - (4.12). Так как при малых перемещениях справедлив принцип суперпозиции, то все сложные деформации и соответствующие им усилия рассматриваются как сумма независимых простых деформаций или усилий. Рассматриваемые ниже виды напряженного состояния можно рассматривать как примеры использования этого принципа.

 

27. Статический способ определения внутр. усилий и на чем он основан

Пусть под действием приложенной внешней нагрузки (рис.4.10) стержень находится в равновесии (дана самоуравновешенная система сил), т. е. для внешних сил выполняются условия

, , (4.14)

,

 

Любая часть стержня должна находиться в равновесии под действием внешней нагрузки и внутренних усилий. Разделим стержень сечением abсd на две части. Чтобы не нарушить их равновесия, усилия в рассеченных связях заменим интегральными силовыми характе-ристиками (рис. 4.10). Ими должны быть: продольное усилие N, изгибающие моменты M_x, M_y; крутящий момент M_z; поперечные силы Q_x,Q_y (шесть параметров соответствуют шести степеням свободы плоского сечения или шести макросвязям). Для части стержня также должны быть справедливы уравнения равновесия (4.14), но только теперь в них войдут неизвестные внутренние усилия

S x = P_x + Q_x = 0, S m_x = M_px + M_x = 0,

S y = P_y + Q_y = 0, S m_y = M_py + M_y = 0, (4.15)

S z = P_z + N = 0, S m_z = M_pz + M_z = 0,

где P_x, P_y, P_z - проекции приложенных к отсеченной части стержня внешних сил соответственно на оси x, y, z; M_px, M_py, M_pz - моменты внешних сил относительно осей x, y, z.

Допущение о малости перемещений дает возможность в уравнения (4.15) ввести геометрические параметры (размеры, очертания осей или углы наклона сил и их плечи) недеформированного состояния. Ввиду этого число уравнений равновесия равно числу неизвестных, система является статически определимой. При решении плоской задачи будут иметь место только три внутренних усилия (M, Q, N) и три уравнения равновесия.

Из системы (4.15) следует простой способ вычисления внутренних усилий в любом сечении свободного незамкнутого стержня, загруженного самоуравновешенной нагрузкой. Для этого необходимо провести сечение, рассмотреть любую отсеченную часть стержня и составить соответствующие уравнения равновесия.

Приведенные выше рассуждения показывают, что внутренние усилия представляют собой интегральную характеристику напряженного состояния сечения в целом, в то время как напряжения определяют состояние отдельной точки сечения. Из этих же рассуждений следует, что по известным внутренним усилиям с учетом принятых геометрических гипотез легко могут быть найдены напряжения. Внутренние усилия, таким образом, являются основным инструментом анализа напряженного состояния конструкции. Поэтому задачу вычисления внутренних усилий в строительной механике часто называют основной.

Решение задачи определения внутренних усилий и напряжений принято представлять в виде графиков - эпюр усилий и напряжений. Они показывают значения усилий и характер их изменения по длине каждого элемента сооружения и эпюр напряжений - по сечению. Эпюры дают возможность при соответствующем опыте мгновенно оценить состояние конструкции, увидеть опасные сечения (точки), наметить при необходимости способы перераспределения внутренних усилий.

В анализе напряженно деформированного состояния элементов конструкций задача определения внутренних усилий является наиболее трудоемкой, и хотя все необходимые вычисления при этом полностью основываются на составлении уравнений равновесия, для ее успешного решения требуется иметь прочные практические навыки.

 

28. Как формируется банк предельных напряжений элемента соор-я и от чего он зависит?

Прочность конструкции по напряжениям, являющимся силовой характеристикой ее внутренних связей, может быть оценена только в заданной точке. Опорной базой для оценки прочности по напряжениям служит материал.

Суммарное напряжение в связях по одну сторону от плоскости, проходящей через заданную точку, раскладывается на нормальное и касательное (см. рис. 3.1). Поэтому методики испытаний материала должны быть поставлены так, чтобы образцы и условия испытаний позволяли получить известное напряженное состояние, в котором можно четко выделить отдельно нормальные и касательные напряжения. При растяжении (сжатии) стержня, например, центрально приложенной силой, нормальные напряжения по поперечному сечению распределены равномерно и, зная его площадь и силу, легко найти (см. табл. 4.2) их величину. Таким образом, в результате испытаний на растяжение (сжатие) получаются предельные нормальные напряжения. Касательные напряжения определяются при скручивании круглых стержней.

Для того чтобы получить такие состояния стержней, созданы машины с центрирующими зажимами. Образец же изготовляется таким, чтобы давления в зажимах (по концам стержня) не нарушали напряженного состояния на рабочем участке, Образец по концам имеет утолщения, плавно переходящие в достаточно длинную цилиндрическую или призматическую рабочую часть (рис. 5.1).

Предельно допустимые напряжения определяются требованиями надежной эксплуатации конструкций, Если, например, при любых временных возмущениях конструкция должна возвращаться в исходное состояние, то предельным является предел текучести (для стали), если же допускаются остаточные деформации, то - предел прочности (временное сопротивление)

Предельно допустимые напряжения (сопротивления) зависят от многих факторов, в частности, от объема материала в изделии и способа его изготовления. Если, например, изготовить одинаковые образцы из тонкого прокатанного листа стали и из отливки, предназначенной для его изготовления, то не требуется особых доказательств того, что прочность образцов будет разная. Прочность образца из листа будет больше, чем образца из отливки, в которой невозможно добиться необходимой плотности и однородности (количество нарушений сплошности внутри заготовки больше, чем в листе). Однако даже при испытании образцов из одного изделия неизбежен разброс результатов, Методика их обработки должна быть такой, чтобы помещенные в банк предельных напряжений величины обеспечивали прочность материалов в заданной точке с определенной надежностью, В нормативных документах (нормалях, СНиП) введены статистические коэффициенты

R_np = R_n×_с; _m×_n ; (5.1)

где R_n -нормативное сопротивление материала, определяемое статистической оценкой математического ожидания множества испытаний стандартных образцов. Обычно в упругой стадии работы материала конструкции нормативное сопротивление R_n принимается равным пределу текучести R_yn. Если эксплуатация элементов возможна и за пределом упругости, то - временному сопротивлению R_un. _m - коэффициент надежности по материалу. Он определяется разбросом результатов испытаний (среднеквадратичным отклонением и доверительным интервалом). Этот коэффициент отражает постоянство показателей прочности материала, Чем материал однороднее, чем стабильнее результаты испытаний, тем меньше _m; отличается от единицы, Из рисунка 5.3 видно, что с уменьшением произведения _m×_n, увеличивается нормативное сопротивление материала, что приводит к экономии материала. Поэтому необходимо учитывать ответственность (капитальность) сооружений, _n - коэффициент надежности самого объекта строительства. Для капитальных

сооружений первого класса, разрушение которых приводит к значительным материальным, социальным и экологическим потерям (здания АЭС, ТЭЦ, антенн ТВ, резервуары для нефтепродуктов, детские и зрелищные учреждения), значения предельных напряжений не понижаются (_n; = 1). Для временных сооружений (складов, хранилищ, гаражей и других) предельно допустимое сопротивление уменьшается на 10% (_n = 0.9), а для остальных зданий на 5% (_n = 0.95). Коэффициент условий работы _c учитывает длительность и повторяемость нагрузок, изменения температуры, агрессивность и влажность внешней и внутренней среды и отражает интегрально степень изученности взаимодействия среды и конструкции. Предельно допустимые (расчетные) сопротивления наиболее распространенных материалов, применяемых в строительстве.

Предельно допустимое сопротивление растяжению и сдвигу не зависит от размеров конструктивных элементов. Сопротивление сжатию от этих размеров зависит в значительной степени в связи с возможной потерей устойчивости формы элемента. В большинстве случаев предельно допустимое напряжение сжатию определяется не прочностью связей, а условием сохранения формы элемента.

Ясинский предложил учитывать это явление введением понижающего коэффициента в расчетное сопротивление. Величина этого понижения зависит от гибкости ;. Для стержней она определяется их сечением, длиной и способом закрепления концов

l / i, (5.2)

где l - длина стержня; ; - коэффициент, зависящий от закрепления его концов:

ì 2 при одном защемленном и другом свободном конце;

; = í 1 при шарнирном закреплении концов;

î 0.5 при защемленных концах;

i = Ö I /A - минимальный радиус инерции сечения.