Покажите историю появления балок и плит и развитие методов их расчета.

Элементы висячих конструкций и ферм работают на растяжение или сжатие. Повседневный опыт убеждает нас в том, что не всегда такие сооружения возможно использовать, особенно в тех случаях, когда необходимо образовать пространства простой прямоугольной формы с оптимальным расходом объема здания на несущие конструкции. При любом воздействии такие конструктивные элементы должны оставаться плоскими и прямолинейными. Поперечная нагрузка вызывает их искривление (изгиб). Прямолинейные элементы, выполненные из стержней, работающих на изгиб, носят название балок, а изгибаемую тонкостенную конструкцию с плоской (до деформации) срединной поверхностью называют плитой.

Балки применяют с незапамятных времен. Очевидно, первым инженерным сооружением, позволившим преодолеть препятствия, явилось бревно, перекинутое через овраг. Обыкновенная палка - рычаг, издавна использовавшаяся для увеличения мускульной силы, также является балкой.

В капитальных сооружениях, например, в греческих храмах, использовались каменные балки длиной от трех до четырех с половиной метров, а также плиты, которые укладывались на колонны (рис. 10.1). Древние строители заметили разрушение нижней грани балок и усиливали их металлическими прутами, проложенными в просверленных в камне каналах. Длина балок при этом могла быть увеличена до шести метров.

Одновременно с каменными балками широко использовались и деревянные брусья. Перекрываемые ими пролеты ограничивались длиной ствола дерева и размерами его сечения. Из дерева относительно просто изготавливаются балки прямоугольного и круглого сечения. При соответствующем соединении деревянных брусьев образовывались балки, перекрывающие несколько пролетов (рис. 10.2).

Галилей установил, что внешний момент вызывает такой же по величине момент внутренних сил сопротивления с плечом, равным половине высоты прямоугольного сечения балки, это плечо равно двум третям высоты.

Легко показать, что при линейном распределении напряжений по высоте сечения, плечо внутренних сил равно именно этой величине

(рис.10.3). Поэтому долго существовало убеждение, что положение нулевой точки на эпюре напряжений (нейтральной оси) не имеет значения.

Французский военный инженер Паран получил эпюру нормальных напряжений с нулевой осью, проходящей через центр тяжести сечения. Но его работы не сразу были признаны, и должно было пройти еще много времени, чтобы споры о распределении напряжений при изгибе затихли.

Сен-Венан первым сформулировал гипотезу плоских сечений и показал, что она точно выполняется для случаев чистого изгиба и приближенно при поперечном изгибе. Теория плоских сечений позволила для абсолютно упругих материалов доказать наличие двухзначной эпюры напряжений в сечении с нейтральной осью, проходящей через центр тяжести сечения.

При изгибе балок прямоугольного сечения полностью используется несущая способность только крайних волокон, а в середине сечения связи недогружены. Стремление к более полному использованию материала привело к созданию двутавровых сечений балок. Такие балки собирались из отдельных деталей (листов, брусьев) или прокатывались из металла (рис. 10.4).

Бернулли считал, что плиту можно рассматривать как систему перекрестных балок. Задача заключалась в том, чтобы распределить нагрузку между балками двух направлений. Для квадратных плит равномерно распределенную нагрузку делили поровну между балками двух направлений.

При изгибе плит искривление балок одного направления приводит к закручиванию балок другого направления. Представим себе, что два слоя балок в плите не склеены между собой. Тогда каждая из балок прогнется без поворота - сечение ее параллельно срединной поверхности недеформированной плиты (рис. 10.5).

Если же отдельные балки склеить, то прогиб нижнего слоя балок сопровождается их закручиванием (то же можно сказать и о верхнем слое). За счет этого поворота в работу вовлекаются дополнительные связи, и плита может нести нагрузку большую, чем система перекрестных балок.

д⁴ w/дx⁴ + 2д⁴ w/(дx² дy²) + д⁴ w/дy⁴ = q/D, (10.1)

(здесь w - прогиб плиты; x, y - координаты срединной поверхности; q -нагрузка; D = E ^{ 3}/(12(1- ;)) - жесткость плиты, E - модуль упругости материала, ; толщина плиты, ; коэффициент Пуассона). Решением этого уравнения при различных закреплениях (граничных условиях) и загружениях мы будем пользоваться в дальнейшем.

Относительно простые по работе изгибаемые элементы - балки и плиты часто служат инструментом для наглядного представления и опробования различных теоретических предположений. Самые сложные вопросы наиболее понятны именно на примерах расчета балок.

51. Каков порядок расчета статически определимых балок?

Наиболее распространенным и простым приемом при определении усилий в балке является расчет ее по отдельным пролетам. Для этого сечениями, близкими к опорам, вырезается отрезок стержня. В соответствии с концепцией сил отброшенные связи заменяются усилиями. К каждому выделенному отрезку стержня (балки) при этом должны быть приложены внешняя нагрузка и усилия в отброшенных связях (поперечные силы и изгибающие моменты по концам). Концевые моменты называют опорными. Определение этих моментов расчетчики считают основным вопросом, который следует решить при нахождении усилий в балках. Чтобы показать, как найти внутренние усилия по известным опорным моментам, разберем расчет простых балок.

Простые балки

П р и м е р 10.1. Дана балка пролетом l = 18 м, загруженная распределенной и сосредоточенной нагрузкой, а также моментами, приложенными к балке вблизи опор (рис.10.10, а1). Требуется построить эпюры распределения внутренних усилий (изгибающих моментов и поперечных сил) вдоль балки.

Р е ш е н и е. Сечениями, близкими к опорам, вырежем отрезок балки (он не включает только точки опирания). Приложим к его концам внутренние усилия. В нашем случае это поперечные силы - Q_л и Q_п. Так как опоры шарнирные, изгибающие моменты равны нулю. Поперечные силы направим в положительную сторону, то есть так, чтобы они вращали отрезок балки по часовой стрелке.

Из условий равновесия этого отрезка стержня

Sm_А = 2×9(4.5 + 2) + 12(2 + 9 + 2) + 8 - 21 + Q_п ×;18 = 0 ,

Sm_В = - 2×9(4.5 + 2 + 5) - 12×5 + 8 - 21 + Q_л ×18 = 0

найдем поперечные силы

Q_п = - 14.4 кН (вектор поперечной силы направлен вверх),

Q_л= 15.6 кН.

По известным силам вычислим внутренние усилия в характерных точках и построим графики их распределения вдоль стержня (см. рис. 10.10, а3, а4)

Разобранные примеры показывают, что если основная задача расчета балок - определение опорных моментов - решена, то в пределах каждого пролета можно достаточно просто найти распределение усилий.

Равнопролетные неразрезные балки

Равнопролетные неразрезные балки широко распространены и поэтому хорошо изучены. Имеется широкий набор таблиц по их расчету. По мере удаления от загруженного пролета усилия в балке затухают. Так, уже в третьем пролете опорный момент уменьшается в 15 ¸ 20 раз. Поэтому для расчета балки с любым количеством пролетов практически достаточно иметь решения для балок до пяти пролетов включительно.

кН/м.

Загружение каждого пролета будем рассматривать в отдельности. В соответствии с табл. 10.2 получим значения опорных моментов

Вычисление пролетных моментов и поперечных сил. Рассмотрим равновесие отрезков балки в пределах каждого пролета. Для этого разрежем балку, сечениями близкими к опорам. В соответствии с концепцией сил к каждому выделенному отрезку стержня (балки) при этом должны быть приложены внешняя нагрузка и усилия в отброшенных связях (поперечные силы и изгибающие момент концам. Значения изгибающих моментов на опорах вычислены и направляются так, чтобы растягивали верхние волокна (моменты отрицательны). По методике, разобранной для простых балок, из условий равновесия находим поперечные силы по концам:

в первом пролете – AB

В каждом пролете по известным поперечным силам с учетом внешней нагрузки и опорных моментов вычислим изгибающие моменты в любом количестве сечений по пролету.

Например, в серединах пролетов:

AB® M BC ® MCD® M

Шарнирно-консольные балки

Обычно шарнирно-консольные балки статически определимы, то есть в них выполняется условие (10.2). В таких балках опорные моменты вычисляются из равенства нулю моментов в шарнирах. В связи с этим расчет балок мало отличается от общей схемы определения усилий в статически определимых системах. Отличия, обусловленные спецификой самих балок, выражаются в том, что для определения опорных реакций и усилий в соединениях балка разбивается по шарнирам. В качестве объектов равновесия выбираются стержни между шарнирами. К ним прикладываются реакции опор и усилия в соединениях, которые при вертикальной нагрузке также вертикальны. Имея в виду то, что для параллельной системы сил (при вертикальной нагрузке в балке возникают только вертикальные реакции) можно составить два независимых уравнения статики, расчет начинается с того элемента, к которому приложены две неизвестные реакции. Одновременное определение реакций в каждом элементе и построение эпюр дает возможность уменьшить погрешности вычислений и проводить простую проверку получаемых результатов.

К шарнирно-консольным балкам можно также применить процедуру, разобранную ранее для простых и неразрезных балок. В пролете с одним шарниром изгибающий момент на одной из опор должен быть известен. Эта опора принимается шарнирной, то есть пролет с одним шарниром преобразуется к пролету с двумя шарнирами и дополнительной нагрузкой в виде сосредоточенного момента, равного опорному.

Построение эпюр внутренних усилий. Значения внутренних усилий удобно вычислять в тех же элементах, которые выбраны в качестве объектов равновесия. Это исключает громоздкие вычисления и уменьшает ошибки.