Каковы соотношения между напряжениями на различных площадках, проходящих через заданную точку соор-я

Прежде чем познакомиться с постановкой задачи по определению напряжений при заданной нагрузке, ответим на вопрос о том, все ли напряжения по различным площадкам являются независимыми (величина и направление полного напряжения зависит от положения плоскости n - это очевидно). Для того чтобы на него ответить, рассмотрим равновесие точки M под действием напряжений по четырем площадкам (рис.3.2): три из них (x, y, z) взаимно перпендикулярны, а четвертая - n, имеет произвольное направление, определяемое нормалью n_n (направляющими косинусами l = cos a,m = cos b, n = cos g). Из условий равновесия (проекций сил на оси x, y и z) получаем

C_n - s_x×l - t_yx×m - t_zx×n = 0 ,

U_n - t_xy×l - s_y×m - t_zy×n = 0, (3.1)

Z_n - t_xz×l - t_yz×m - s_z×n = 0.

где X_n, Y_n, Z_n - проекции полного напряжения на координатные оси - .

Из уравнений (3.1) следует, что если известны девять компонентов напряжений по трем взаимно перпендикулярным площадкам (s_x, s_y, s_z, t_xy, t_xz, t_yx, t_yz, t_zx, t_zy), то могут быть определены напряжения по любым другим площадкам. Проецируя найденные из этих уравнений X_n, Y_n, Z_n на нормаль к плоскости - n, получаем нормальные напряжения, а касательные напряжения определим вычитанием из полного напряжения нормальных

 

s_x = s_x×l² + s_y×m² + s_z×n² + t_xy×l×m + t_yz×n×m +

+ t_zx×n×l + t_yx×l×m + t_zy×m×n + t_xz×n×l, (3.2)

.

 

18. «Главные» напряжения, как определяются и какие усл-я позволяют назвать их главными?

При заданных девяти компонентах первое уравнение (3.2) представляет собой поверхность второго порядка при изменении ориентации площадки (l, m, n). Ее называют поверхностью нормальных напряжений, или поверхностью Коши. Из аналитической геометрии известно, что путем надлежащего поворота осей координат уравнение такой поверхности может быть приведено к каноническому виду. Такое уравнение не содержит произведений направляющих косинусов. Это возможно в том случае, когда касательные напряжения на взаимно перпендикулярных площадках будут равны нулю.

Координатные оси канонической системы координат обозначим цифрами 1, 2, 3

s_n = s₁×l² + s₂×m² + s₃×n². (3.3)

Эти площадки называют главными, а напряжения s₁, s₂, s₃ - главными напряжениями (рис.3.3).

Касательные напряжения на площадке n также могут быть выражены через главные напряжения . (3.4)

Изменение s_n и t_n в зависимости от углов наклона площадки по отношению к главным показано на графиках (рис. 3.4), построенных для случая, когда один из направляющих косинусов (например, n) равен нулю (плоская задача). Принимая во внимание, что l² + m² = 1, разделим все члены уравнения (3.3) на s ₁. после простых преобразований получим . (3.5)

Пользуясь уравнением (3.5), можно легко найти значение s_n при заданных s ₁ и s ₂. Напомним, что m - косинус угла между нормалью к площадке и осью 2 координат.

Аналогично из выражения (3.4) получим уравнение

, (3.6)

которое определяет касательные напряжения на любой площадке.

 

19. Какие условия включает в себя полная система уравнений состояния соор-я при расчетах на прочность?

В уравнениях равновесия (3.1) мы не использовали три уравнения моментов относительно координатных осей. Из этих уравнений (вывод их можно найти в указанных ранее источниках) выводится закон парности касательных напряжений

t_xy = t_yx,

t_xz = t_zx, (3.7)

t_yz = t_zy.

С учетом (3.7) и гипотезы сплошности для каждой точки можно составить три дифференциальных уравнения равновесия (внешние гравитационные силы отсутсвут) (3.8)

В них входят шесть непрерывных функций напряжений, то есть задача нахождения напряжений является статически неопределимой.

Физические соотношения

Так как для определения напряжений условий равновесия недостаточно, требуются дополнительные соотношения. Одни из них выведем на основании закона Гука - правила, позволяющего от удлинений в связях перейти к усилиям в них. Такие выражения носят название физических соотношений. Для традиционных строительных материалов они получены, а для новых материалов их устанавливают экспериментально. При этом свойства материалов определяют некоторые физико-механические постоянные, которые часто называют упругими постоянными. Если каждую связь или группу связей характеризовать одной постоянной, то физических уравнений получится чрезвычайно много. Для уменьшения количества таких соотношений примем гипотезу однородности материала. Она заключается в том, что свойства связей не зависят от их положения и одинаковы во всем объеме тела - сооружения. С учетом этой гипотезы и свойства идеальной упругости физико-механические свойства характеризуются тремя постоянными:

E - модулем продольной (нормальной) упругости, или модулем

Юнга;

m - коэффициентом поперечной деформации, или коэффициентом Пуассона

G - модулем сдвига, или постоянной Ляме (G. Lame, 1795- 1870), который для упругого изотропного тела не является независимым, а связан с E и m соотношением . (3.9)

При абсолютной упругости изотропного тела физические соотношения имеют вид (3.10)

где деформации e_x, e_y, e_z выражают удлинения связей в направлении осей x, y, z; а g_xy, g_yz, g_zx - сдвиг связей в соответствующих плоскостях xy, уz и zx.

Из соотношений (3.10) получаются зависимости деформаций от напряжений

(3.11)

Таким образом, три уравнения равновесия (3.8) дополняются шестью физическими соотношениями (3.10), но в них входят дополнительно и шесть деформаций. Чтобы привести в соответствие количество уравнений и неизвестных, добавим еще геометрические зависимости деформаций и перемещений.

Перемещение точки определяется тремя составляющими u_x, u_y, u_z- линейными смещениями вдоль осей координат (рис.3.5). Деформации и перемещения связаны оотношениями, которые относительно просто получаются из геометрических соображений (рис. 3.5)

(3.12)

В пятнадцати полученных соотношениях (уравнений равновесия (3.8) - три, геометрических уравнений (3.12) - шесть, физических (3.10) - шесть) содержится пятнадцать неизвестных (шесть компонентов напряжений, шесть компонентов деформаций и три компонента перемещений). Они составляют полную систему. В математической теории упругости доказывается, что такая система имеет единственное решение. Однако математические трудности совместного решения этих уравнений до сих пор полностью не разрешимы.