Коэффициент корреляции

Теснота связи количественно выражается величиной коэффициентов корреляции. Построение коэффициентов корреляции основано на сумме произведений отклонений индивидуальных значений признаков х и у от их средних значений и : . Деление данной величины на число единиц совокупности n, называется ковариацией. Ковариация характеризует сопряженность вариации двух признаков и представляет собой статистическую меру взаимодействия двух случайных переменных.

где n — объем исследуемой совокупности;

x₁ - i-е значение независимой переменной (i = I, 2,.... n);

у₁- 1-е значение зависимой переменной (i = 1.2.....и);

- среднее значение независимой переменной. Определяется по формуле

- среднее значение зависимой переменной. Определяется по формуле

Размер ковариации зависит от масштаба признаков х и y. Для получения относительной характеристики связи ковариацию делят на максимально возможное значение, равное произведению средних квадратических отклонений двух признаков σ_х, σ_y. В результате получают линейный (парный) коэффициент корреляции.

где σ_х, σ_y – среднеквадратические отклонения случайных величин х и y, определяется по формулам

.

Коэффициент корреляции принимает значение от -1 до +1. Положительное значение коэффициента свидетельствует о наличии прямой связи, отрицательное значение — обратной. Если r_ух = ±1, корреляционная связь представляется линейной функциональной зависимостью. При r_ух = 0 линейная корреляционная связь отсутствует.

Качественные характеристики связи представлены в таблице 34

Таблица 34 – Качественные характеристики связи.

Значение	Характер связи
От 0 до |±0,3|	Практически отсутствует
От ±0,3 до ±0,5	Слабая
От ±0,5 до ±0,7	Умеренная
От ±0,7 до ±1,0	Сильная

 

Коэффициенты корреляции как статистические величины подвергаются в анализе оценке на достоверность. Это объясняется тем, что любая совокупность наблюдений представляет собой некоторую выборку, следовательно, значение любого показателя, вычисленное на основе выборки, не может рассматриваться как истинное, а является только более или менее точной его оценкой. В связи с этим возникает необходимость проверки существенности (значимости) показателей.

Для оценки значимостикоэффициента корреляции используют t -критерий Стьюдента ( t -статистику), который применяется при t -распределении, отличном от нормального. При этом выдвигается и проверяется нулевая гипотеза (H_{0 |}) о равенстве r_ух нулю. Если нулевая гипотеза отвергается, то коэффициент корреляции признается значимым, а связь между переменными существенной.

Формула расчета t -критерия Стьюдента

где k – число факторных признаков, включенных в модель.

Значение t –критерия сравнивают с табличным t _αγ , где α – заданный уровень значимости (обычно принимается равным 0,05 или 0,01); γ - =(n – k -1) - число степеней свободы.

Если выполняется неравенство t > t _αγ, то значение коэффициента корреляции признается значимым, т.е. нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается и делается вывод о том, что между исследуемыми переменными есть тесная статистическая взаимосвязь.

Зная линейный коэффициент корреляции, можно определить парный коэффициент детерминации, он представляет собой r_ух. Парный коэффициент детерминациипоказывает, какая доля вариации переменной у учтена в модели и обусловлена влиянием на нее переменной x.