Моделирование сезонных колебаний
Простейший подход к моделированию сезонных колебаний – это расчет значений сезонной компоненты методом скользящей средней и построение аддитивной или мультипликативной модели временного ряда. Выбор одной из двух моделей осуществляется на основе анализа структуры сезонных колебаний. Если амплитуда колебаний приблизительно постоянна, строят аддитивную модель временного ряда, в которой значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для различных циклов. Если амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается, строят мультипликативную модель временного ряда, которая ставит уровни ряда в зависимость от значений сезонной компоненты. Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений Процесс построения модели включает в себя следующие шаги. 1) Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней. 2) Расчет значений сезонной компоненты 3) Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных ( 4) Аналитическое выравнивание уровней ( 5) Расчет полученных по модели значений ( 6) Расчет абсолютных и/или относительных ошибок. Если полученные значения ошибок не содержат автокорреляции, ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок Пример 9. На основе данных примера 3. Построение аддитивной модели временного ряда. В примере 3 было рассчитано, что данный временной ряд содержит сезонные колебания периодичностью 4, т.к. количество поступивших товаров в первый-второй кварталы ниже, чем в третий-четвертый. Произведем расчет компоненты аддитивной модели временного ряда. Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого: 1.1. Просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени и определим условные годовые объемы потребления электроэнергии (гр. 3 табл. 23). 1.2. Разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние (гр. 4 таблица 23). Полученные таким образом выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты. Таблица 23 – Расчетные показатели.
1.3. Приведем эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних – центрированные скользящие средние (гр. 5 таблица 23). Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними (гр. 6 таблица 23). Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты Для данной модели имеем:
Корректирующий коэффициент: Рассчитываем скорректированные значения сезонной компоненты ( Проверим равенство нулю суммы значений сезонной компоненты:
Таблица 24 – Расчетные показатели.
Шаг 3. Исключим влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины Шаг 4. Определим компоненту
Подставляя в это уравнение значения Шаг 5. Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням
Таблица 25 – Расчетные показатели.
На одном графике отложим фактические значения уровней временного ряда и теоретические, полученные по аддитивной модели (рисунок 6).
Рисунок 6 – Фактические, теоретические значения уровней временного ряда, полученные по аддитивной модели
Для оценки качества построенной модели применим сумму квадратов полученных абсолютных ошибок.
Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель объясняет 97% общей вариации уровней временного ряда количества поступившего товара по кварталам за 4 года. Шаг 6. Прогнозирование по аддитивной модели. Предположим, что по нашему примеру необходимо дать прогноз об общем объеме потупившего товара на I и II кварталы 2009 года. Прогнозное значение
Получим
Значения сезонных компонент за соответствующие кварталы равны:
Т.е. прогноз по поступлению товарной продукции на склад в первом квартале 2009 г. 395 единиц, во втором квартале - 422 единицы. Построение мультипликативной модели рассмотрим на данных предыдущего примера. Шаг 1. Методика, применяемая на этом шаге, полностью совпадает с методикой построения аддитивной модели. Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как частное от деления фактических уровней ряда на центрированные скользящие средние (гр. 6 таблица 26).
Таблица 26 – Расчетные показатели.
Эти оценки используются для расчета сезонной компоненты По условию задачи число периодов одного цикла равно 4, соответственно
Определяем корректирующий коэффициент:
Таблица 27 – Расчетные данные
Скорректированные значения сезонной компоненты Проверяем условие равенство 4 суммы значений сезонной компоненты:
Шаг 3. Разделим каждый уровень исходного ряда на соответствующие значения сезонной компоненты. В результате получим величины Шаг 4. Определим компоненту
Подставляя в это уравнение значения Шаг 5. Найдем уровни ряда, умножив значения Таблица 28 – Расчетные данные
Рисунок 7 – Фактические, теоретические значения уровней временного ряда, полученные по мультипликативной модели Расчет ошибки в мультипликативной модели производится по формуле:
Для сравнения мультипликативной модели и других моделей временного ряда можно, по аналогии с аддитивной моделью, использовать сумму квадратов абсолютных ошибок
Сравнивая показатели детерминации аддитивной и мультипликативной моделей, делаем вывод, что они примерно одинаково аппроксимируют исходные данные. Шаг 6. Прогнозирование по мультипликативной модели. Если предположить, что по нашему примеру необходимо дать прогноз об общем объеме правонарушений на I и II кварталы 2003 года, прогнозное значение
Значения сезонных компонент за соответствующие кварталы равны:
Прогноз по поступлению товарной продукции на склад в первом квартале 2009 г. 409 единиц, во втором квартале - 436 единицы. Таким образом, аддитивная и мультипликативная модели дают примерно одинаковый результат по прогнозу.
|
, 
и 
для каждого уровня ряда.
) в аддитивной или (
) в мультипликативной модели.
. В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю.
.
.
) и заносим полученные данные в таблицу 24.
.
(гр. 4 таблица 25). Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.
.
, найдем уровни 
.
уровня временного ряда в аддитивной модели есть сумма трендовой и сезонной компонент. Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда
.
;
.
и 
. Таким образом,
;
.
.
.
.
.
(гр. 4 табл. 28), которые содержат только тенденцию и случайную компоненту.
.
.
:
.
.
;
.
и 
. Таким образом
;
.
