Применение моделей кривых роста в прогнозировании временных рядов

Комплекс аналитических методов выравнивания сводится к выбору конкретных кривых роста и определению их параметров. Под кривой роста понимают функцию, аппроксимирующую заданный динамический ряд.

Разработка прогноза с использованием кривых роста включает следующие этапы:

1. выбор одной или нескольких кривых, форма которых соответствует динамике временного ряда;

2. оценка параметров выбранных кривых;

3. проверка адекватности выбранных кривых прогнозируемому процессу и окончательный выбор кривой;

4. расчет точечного и интервального прогнозов.

Кривые роста обычно выбираются из трех классов функций.

К первому классу относятся кривые, которые используются для описания процессов с монотонным характером развития и отсутствием пределов роста.

Ко второму классу относятся кривые, имеющие предел роста в иссле­дуемом периоде. Такие кривые называют кривыми насыщения.

Если кривые насыщения имеют точки перегиба, то они относятся к кривым третьего класса. Их называют S - образными кривыми.

Среди кривых роста первого типа выделяют класс полиномов:

у_t = а₀ + а₁t + а₂t² + а₃t³ +...

Параметр а₀ является начальным уровнем ряда при t = 0,

а₁ - линейныq прирост,

а₂ — ускорение роста,

а₃ — изменение ускорения роста.

В эконометрических исследованиях в большинстве случаях применяются полиномы не выше третьего порядка.

Уравнение линейного тренда ŷ_t = a₀ + a₁t

ŷ_t - выровненные (теоретические) уровни тренда для лет с номером I,

t – номера моментов или периодов времени, к которым относятся уровни временного ряда (год, месяц, др.)

a₀, a₁ – параметры тренда.

Характеристика параметров линейного тренда

a₀ - коэффициент тренда, численно равный среднему выровненному уровню для момента, или периода времени, принятого за начало отсчета (t_i = 0);

a₁ - коэффициент тренда, характеризующий среднее и з менение уровней ряда за единицу времени

Величина параметров a₀ и a₁, определяется по методу наименьших квадратов. Для этого строят систему нормальных уравнений.

Система нормальных уравнений для линейного тренда

Для решения уравнения с двумя неизвестными начало отсчета времени переносят в середину ряда. При нумерации периодов времени точно от середины ряда половина номеров t будет отрицательными числами, а половина — положительными, т.е. . Если до переноса начало координат t равно 1,2,3..., то после переноса:

• для четного числа членов t=..., -5. -3, -1, 1, 3, 5...,

• для нечетного числа членов t:=..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...

В этом случае система нормальных уравнений сокращается.

где

;

На графике линейный тренд изображается в виде прямой и используется для описания процессов, развивающихся равномерно во времени. Т.е. для отображения тенденции примерно равномерного изменения уровней: равных в среднем в среднем величин абсолютного прироста или абсолютного сокращения уровней за равные промежутки времени.

 

Уравнение параболического тренда ŷ_t = а₀ + а₁t + а₂t²

Значения параметров параболы такие же, как и в уравнении прямой, кроме a₁, а₂

a₀, - коэффициент тренда, численно равный среднему выровненному уровню для момента или периода времени, принятого за начало отсчета (t_i = 0).

a₁ – коэффициент тренда, характеризующий средний за весь период среднегодовой прирост, который уже не является константой, а изменяется равномерно со средним ускорением, равным 2а₂.

а₂ – главный параметр уравнения, константа, характеризующая ускорение.

Система нормальных уравнений для параболического тренда

При переносе начала отсчета периодов (моментов) времени в середину ряда, суммы нечетных степеней номеров этих перио­дов Σt. и Σt ³ = 0. Следовательно, второе уравнение становится уравнением с одним неизвестным. Отсюда можно выразить параметр а₁:

Сокращенная система уравнений для параболического тренда

Формулы вычисления коэффициентов параболического тренда

На графике параболический тренд изображается в виде параболы и применяется в тех случаях, когда процесс развивается равноускоренно. Т.е. для отражения тенденций динамики, для которых на некотором, обычно непродолжительном, этапе развития свойственно примерно постоянное ускорение абсолютных изменений уровней. Если a₂ > 0, то ветви параболы направлены вверх, в слу­чае а₂ < 0 — вниз.

Уравнение гиперболического тренда

a₀ - свободный член гиперболы, предел, к которому стремится уровень ряда

a₁ - основной параметр гиперболы:

Ø если a₁ > 0, то этот тренд выражает тенденцию замедляющегося снижения уровней и при t→∞, ŷ_t→ a₀

Ø если параметр a₁ < 0, то с возрастанием t, т.е. с течением времени, уровни тренда возрастают и стремятся к величине a₀при t→ ∞

При расчете гиперболического тренда нельзя нумеровать периоды времени от середины ряда, так как значения 1/ t должны быть всегда положительными.

Уравнение экспоненциального тренда

k - постоянный темп изменения уровней (цепной).

Ø Если k > 1, то имеется тренд с возрастающими уровня­ми, причем это возрастание не просто ускоренное, а с возрастающим ускорением и возрастающими произво­дными более высоких порядков.

Ø Если k < 1, то имеется тренд, выражающий тенденцию постоянного, но замедляющегося сокращения уровней, причем замедление непрерывно усиливается. Экстремума экспонента не имеет и при t→ ∞ стремится либо к ∞ при k > 1, либо к 0 при k < 1

a - свободный член экспоненты равен выровненному уровню, т. е. уровню тренда в момент или период, при­нятый за начало отсчета времени (при t= 0)

Экспоненциальный тренд характерен процессам, развиваю­щимся в среде, не создающим никаких ограничений для роста уровней. Следовательно, на практике такие явления встречаются только в ограниченном промежутке времени, поскольку лю­бая среда рано или поздно создает ограничения.

Уравнение логарифмического тренда

Уравнение логарифмического тренда применяют в том случае, когда изучаемый процесс приводит к замедлению роста по­казателя, но при этом рост не прекращается, а стремится к какому-нибудь ограниченному пределу. В этом случае ни гипер­болическая форма тренда, ни парабола с отрицательным уско­рением не подходят. Логарифмы возрастают значительно мед­леннее, чем сами числа (номера периодов t), но рост логариф­мов не ограничен. Подбирая начало отсчета периодов (моментов) времени, можно найти такую скорость снижения абсолютных изменений, которая наилучшим образом отвечает фактическому временному ряду.

Логарифмический тренд обладает следующими свойствами:

Ø Если a₁ > 0, то уровни возрастают, но с замедлением, а если a₁ < 0, то уровни тренда уменьшаются, тоже с замедлением.

Ø Абсолютные изменения уровней по модулю всегда уменьша­ются со временем

Ø Величины ускорения абсолютных изменений имеют знак, противоположный знаку самих абсолютных изменений, а по модулю постепенно уменьшаются

Ø Темпы изменения (цепные) постепенно приближаются к 100% при t→ ∞

Логарифмический тренд, как и гиперболический, отражает постепенно затухающий процесс изменений. Однако эти тренды имеют существенное различие. Затухание по гиперболе происходит быстро при приближении к конечному пределу, а при логарифмическом тренде затухающий процесс продолжается без ограничения гораздо медленнее.

Уравнения логистического тренда

(1)

(2)

При разных значениях параметров логистического уравнения ( a₀и a₁,) будут получаться разные виды трендов.

Ø При a₁ > 0, a₁ < 0 - с ростом номеров периодов времени tполучается логистическая тенденция роста уровней, причем если нужно начать рост почти от нулевой величины, то a₀ должно быть равно примерно 10. Чем боль­ше модуль a_1, тем быстрее будут возрастать уровни.

Ø При a₀ < 0, a₁ > 0 - логистический тренд со снижением уровней, причем если снижение должно начинаться почти от единицы, то a₀должно быть примерно равно —10. Чем больше a₁, тем быстрее будут снижаться уровни.

Логистическая форма трендаиспользуется для описания процессов, при которых изучаемый показатель проходит полный цикл развития, начиная от нулевого уровня, сначала медленно, но с ускорением возрастая; затем ускорение становится нулевым в середине цикла, т.е. рост происходит по линейному тренду; далее, в завершающей части цикла, рост замедляется по гиперболе по мере приближения к предельному значению показателя.

Если диапазон изменения уровней от 0 до 1, то уравнение логистического тренда имеет вид (1). Если диапазон изменения уровней ограничен не нулем, а любыми значениями, определяемыми в зависимости от существа задачи, обозначаемыми у_тах и у_min, то формула логистического тренда примет вид (2)

Пример 6:

По данным месячных выпусков продукции фирмы за 8 месяцев (таблица 19, гр.2,3)

Таблица 19 – Динамика выпуска продукции.

№				*
1	2	3	4	5
	-7			-23961
	-5			-16605
	-3			-9630
	-1			-3122
итого				-8066

 

Необходимо произвести расчет

- коэффициентов a₀ и a₁ линейного тренда и прогноз на месяц вперед

- коэффициентов параболического тренда a₀,a_1, a₃ прогноз на месяц вперед

Решение:

Для расчета коэффициентов линейного и параболического трендов произведем необходимые вычисления и заполним таблицу 20.

Вычислим коэффициенты линейного тренда

 

Таблица 20 – Расчетные показатели.

№							()2
	-7			-23961	-343
	-5			-16605	-125
	-3			-9630	-27
	-1			-3122	-1
итого				-8066

 

Таким образом, величина среднего уровня ряда при t=0 составляет 3079,25, среднемесячное уменьшение выпуска продукции составляет 48,01.

Уравнение линейного тренда:

Прогноз на 9й месяц составит:

Вычисляем коэффициенты параболического тренда по формулам

Уравнение параболического тренда:

Прогноз на 9-й месяц