Экспоненциальное сглаживание.

В процедуре нахождения сглаженного уровня используются значения только предшествующих уровней ряда, взятые с определенным весом, причем вес наблюдения уменьшается по мере его удаления от момента времени, для которого определяется сглаженное значение уровня ряда. Если для исходного ряда соответствующие сглаженные значения уровня обозначить S_t, где t= , то экспоненциальное сглаживание производится по рекуррентному соотношению:

, где

- параметр сглаживания,

0< <1, величина 1- называется коэффициентом дисконтирования.

Используя рекуррентное соотношение для всех уровней ряда, начиная с первого и заканчивая моментом уровня t, можно получить сглаженное данным методом значение уровня ряда, которое является взвешенной средней всех предшествующих уровней:

Например: при =0,2 вес текущего наблюдения =0.2.

Вес предыдущего уровня y_t-1, будет соответствовать

=0,2(1-0,2)=0,2*0,8=0,16.

Для уровня y_t-2 вес составит ² = 0,2*0,64=0,128

Обычно для временных рядов в экономических задачах величину параметра сглаживания выбирают в интервале от 0,1 до 0,3.

Начальный параметр S₀ принимают равными значению первого уровня ряда y₁ или равным средней арифметической нескольких первых членов ряда S₀=(y₁+ y₂ + y₃)/3

Пример 5:

В таблице 18 приведены данные численности преподавателей учебных заведений (тыс.чел) по годам. Произвести сглаживание временного ряда с использование экспонциальной средней, приняв параметр сглаживания =0,1 и =0,3. По результатам расчетов определить, какой из сглаженных временных рядов носит более гладкий характер.

Таблица 18 – Численность преподавателей учебных заведений.

год
yt	233,5	239,9	239,8	261,9	261,8	268,7	260,7	298,6

Решение:

=0,1

S₀=(y₁+ y₂ + y₃)/3 =(233,5+ 239,9 + 239,8)/3=237,7

S₁= = 0,1*233,5+(1-0,1)*237,7=0,1*233,5+0,9*237,7=237,3

S₂= =0,1*239,9+0,9*237,3=237,6

S₃= =0,1*239,8+0,9*237,6=237,8

=0,3

S₁= = 0,3*233,5+0,7*237,7=233,6

S₂= =0,3*239,9+0,7*233,6=235,5

S₃= =0,3*239,8+0,7*235,6=236,8

Вывод из расчетов: при =0,1 временный ряд имеет более гладкий характер, т.к. при данном показателе в наибольшей степени поглощаются случайные колебания временного ряда.