Расчет мер связи для дихотомической шкалы наименований

Для определения тесноты связи двух качественных признаков, каждый из которых состоит только из двух групп, применяются коэффициенты ассоциации и контингенции. При исследовании связи числовой материал располагают в виде таблиц сопряженности, например, табл. 5,6. В общем случае таблица для расчета коэффициентов Q и Ф может быть представлена следующим образом (табл. 5).

Таблица 5

Таблица четырехклеточной сопряженности для расчета коэффициентов Q и Ф

Для вычисления строится таблица, которая показывает связь между двумя явлениями, каждое из которых должно быть альтернативным, т.е. состоящим из двух качественно отличных друг от друга значений признака (табл. 6)

Таблица 6

Коэффициенты контингенции и ассоциации, определяющие тесноту связи двух качественных признаков, вычисляются по формулам:

Расчетная формула коэффициента контингенции Q:

Q = .

Коэффициент контингенции Q называют также по имени автора, предложившего его в 1900 г., коэффициентом связи Юла.

Расчетная формула коэффициента ассоциации Ф:

Ф = .

Расчет коэффициентов контингенции и ассоциации для приведенной выше табл. 5 определяется следующим образом:

.

Коэффициент контингенции всегда меньше коэффициента ассоциации.

.

Связь считается подтвержденной, если коэффициент ассоциации Ф ≥0,5, а коэффициент Юла Q >0,3.

Область изменения Q и Ф лежит в диапазоне: –1< Q (Ф) < +1:

при Q(Ф) ≈ –1 – сопряженность сильная, обратная (отрицательная);

Q(Ф) ≈ +1 – сопряженность сильная, прямая (положительная);

Q(Ф) ≈ 0,5 – сопряженность слабая;

Q(Ф) ≈ 0 – сопряженность отсутствует.

Необходимо помнить правило выбора при вычислениях коэффициента контингенции Q или коэффициента ассоциации Ф:

Когда частоты (числовые значения) концентрируются преимущественно в трех клетках таблицы, желательно использовать коэффициент контингенции Q, во всех остальных случаях – коэффициент ассоциации Ф.

Рассмотрим пример вычисления коэффициентов. Предположим, мы имеем данные наблюдения за 12 студентами вто­рого курса колледжа по переменным «семейное положение» и «исключение из колледжа». Данные также можно представить в виде четырехклеточной таблицы, которая содержит частоты объектов (табл. 7).

Таблица 7

Распределение частоты объектов по двум признакам

Коэффициенты сопряженности и контингенции для данных, представленных в табл. 6, равны соответственно:

Ф = 0,507,

Q = 0,81.

2.2.2. Измерения связи в дихотомической шкале наименований в предположении
нормального распределения измеряемых психологических переменных

В случае когда обе переменные дихотомические и основаны на нормальных распределениях, используется мера связи – тетрахорический коэффициент корреляций – r_tet. Иногда мы считаем, что нам многое известно об измеряемой переменной, хотя имеем лишь весьма грубые ее изме­рения. Например, составлена письменная контрольная работа для оценки спо­собности силлогического мышления. При этом считается, что способность выводить правильные заключения из множества силлогизмов – нормально распределенная характеристика, од­нако использование одной этой контрольной группы позволит только определить группу тех, кто отвечает правильно (всем им будет приписана 1), и группу отвечающих неправильно (с оценкой 0). В качестве второго примера представьте себе, что значения роста 1000 мальчиков имеют нормальное распределение. Исследователь может присвоить 1 тем, кто выше 1 м 58 см, и 0 – тем, кто ниже (рис. 3). Исследователь, ко­нечно, пренебрег информацией, но может пользоваться свободой в вычислениях, а потери информации могут оказаться допусти­мыми, особенно если n велико.

Рис. 3. Преобразование нормально распределенных оценок в дихотомические оценки

При наличии данных, состоящих только из нулей и единиц, для исследователя все равно представляет интерес корреляция Х и Y, которую он получил бы, если бы собрал нормально распределенные измерения переменных Х и Y.

Наблюдаемые данные представляют собой дихотомические измерения (0 или 1) для каждого объекта по Х и Y. На первом этапе данные существуют в том же виде, как и при вычислении коэффициента Ф. Подробная информация по всем данным со­храняется, когда они помещаются в таблицу сопряженности 2х2.

Наиболее точная формула r_tet использует частоты а, b, с и d в таблице сопряженности 2х2 для получения аппроксимации значения r_xy, которое могло быть найдено, если бы были возможны более тонкие измерения Х и Y. К сожалению, она очень сложна, поэтому мы предложим более удобную, хотя и менее точную аппроксимацию:

r_tet = - cos .

После вычисления выражения под знаком косинуса можно найти косинус угла, измеренного в градусах, по таблице тригоно­метрических функций.

Рассмотрим пример, приведенный в табл. 8, и определим по ней r_tet.

100 человек отвечали на вопросы двух тестов. Испытуемому человеку, если он правильно отвечал на вопрос, приписывалась 1, в случае неверного или пропущенного ответа присваивался 0.
В представленной ниже таблице приведены все сочетания верных и не­верных ответов на два вопроса, данные всеми испытуемыми.

Таблица 8

Частоты пар ответов на два вопроса теста

Неправильно на оба вопроса ответили 64 человека; 5 человек ответило верно на второй и неверно на первый вопрос. Величина (bc)/(ad) = 53,33. Так как это отношение больше 1, приближенная величина r_tet составляет 0,93. Это аппроксимация коэффициента корреляции Пирсона между нормально распре­деленными переменными, для которых вопросы теста обес­печили только дихотомические измерения.

В качестве второго примера представим себе, что для некото­рой таблицы сопряженности 2х2 взяты следующие данные: a = 31, b = 10, с = 5 и d = 14. Если вы построите эту таблицу сопряженности, то заме­тите отрицательную связь двух переменных. Теперь (bc)/(ad) = 0,115, т.е. меньше 1, а величина r_tet отрицательна. Мы видим, что значение r_tet составляет 0,70.

2.3. Коэффициент корреляции Пирсона для дихотомических данных – φ (фи)

Когда каждый из качественных признаков состоит более чем из двух групп, то для определения тесноты связи возможно применение коэффициента взаимной сопряженности Пирсона. Этот коэффициент вычисляется по следующей формуле:

φ = ,

где: n_xy – число пар значений x и y, имеющих одновременно “ 1 ”;

n_x – число значений, имеющих “ 1 ” по x;

n_y – число значений, имеющих “ 1 ” по y;

n – общее число пар значений x и y.

Обе переменные измеряются в дихотомических шкалах наименований.

Данные можно представить в виде расположенных в два столбца нулей и единиц, где каждая строка соответствует каким-то двум отметкам неко­торого объекта. Например, данные наблюдения за 12 студентами вто­рого курса колледжа по переменным «семейное положение» и «исключение из колледжа» (см. табл. 7) приведены в форме табл. 9.

Таблица 9

Пример вычисления коэффициента φ

Пусть р_х – доля людей, имеющих “1” по X; q_x (доля людей, имеющих “0” по X) будет равна 1– р_х. Доля тех, кто имеет “1” по Y, обозначается р_y, а q_y = 1– р_y. Нужно еще одно определение:
р_ху – доля людей, которые имеют “1” как по X, так и по У. Если бы мы оперировали формулой для r_xy в соответствии с новыми определениями, то мы обнаружили бы, что она алгебраически упрощается до

φ = .

Данное уравнение дает удобный способ вычисления коэффициента φ (фи).