Мера Гудмена и Краскала

 

Коэффициенты корреляции для анализа данных порядкового (рангового) уровня. Для начала введем обозначения:

количество категорий переменной A;

количество категорий переменной B.

Для примера возьмем какую-нибудь пару наблюдений, одно из которых принадлежит ячейке i1, j1, т.е. имеет категорию i1 переменной A и категорию j1 переменной B, а второе измерение – из ячейки i2, j2.

Порядковые меры связи – это всегда простые функции от следующих четырех величин:

S – общее число пар наблюдений, для которых либо одновременно i1 > i2 и j1 > j2, либо, наоборот, i1 < i2 и j1 < j2, т.е. когда ранги пар измерений совпадают;

D – общее число пар наблюдений, для которых либо i1 > i2 и j1 < j2, либо i1 < i2 и j1 > j2, т.е. когда ранги пар измерений не совпадают;

Т_а – общее число пар наблюдений, для которых i1 = i2;

T_b – общее число пар наблюдений, для которых j1 = j2.

Когда между переменными A и B существует сильная связь, число S становится большим, а число D – малым.

Меры ранговой корреляции γ – Гудмена и Краскала, τ – Кендалла и d – Сомерса различаются только способом нормирования разности “S – D”.

Мера γ Гудмена и Краскала (предложена в 1954 г.):

Мера γ Гудмена и Краскала – это разность между вероятностями “правильного” и “неправильного” порядка для двух наблюдений, взятых наугад при условии, что совпадающих рангов нет.

 

γ Гудмена и Краскала изменяется в интервале от –1 до + 1:

в общем случае при отсутствии зависимости между А и В, γ обращается в 0, однако, не всегда, если γ = 0, то А и В независимы.

Пример вычислений приведен на рис. 4.

Рис. 4. Пример таблицы для вычисления меры γ Гудмена и Краскала

 

Для вычисления S => последовательно перебираются все ячейки, с умножением их частоты на суммарную частоту того блока ячеек, которые лежат ниже и правее следующей выбранной ячейки.

На рис. 4 частота “13” в ячейке (1,1) должна умножаться на частоту выделенного прямоугольника 2x3 (она равна: 24+28+34+8+15+24=133).

Совокупность таких (i – 1)(j – 1) перекрестных произведений и есть S (рис. 5).

Рис. 5. Таблицы для вычисления величины S

 

S = 13 х (24+28+34+8+15+24) + 13 х (28+34+15+24) + 12 х (34+24) + 4 х (8+15+24) +
+ 24 х (15+24) + 28 х (24) = 5534

Величина D => вычисляется совершенно так же, только частота в каждой ячейке умножается на суммарную частоту блока, расположенного ниже и слева (рис. 6).

Рис. 6. Таблицы для вычисления величины D

 

Отсюда D = 22 х (4+24+28+3+8+15) + 12 х (4+24+3+8) + 13 х (4+3) + 34 х (3+8+15) +
+ 28 х (3+8) + + 24 х (2) = 3627

Итак: γ = 5534 – 3627 = 0,208.

5534 + 3627

3.3. Проблема связанных рангов. Коэффициент τ (тау) Кендалла

Если значения признака имеют одинаковую оценку, то ранги, присваиваемые этим значениям, называются связанными. В таких случаях действует особое правило приписывания рангов. Напри­мер, если 12-й и 13-й сверху ранги 245 учащихся выпускного класса имеют средний балл 4,76, то обоим учащимся надо при­своить ранг, равный среднему двух рангов (12 + 13)/2 = 12,5. Или когда эксперт не может установить разницу в достоинствах почерка трех первых учащихся, он присваивает им всем среднее первых трех рангов, 2 = (1+2+3)/3.

Когда мы имеем дело со связанными рангами, ни уравнение r_s, ни уравнение γне пригодны для вычисления тесноты связи между ран­гами.

Но способ вычислить корреляцию между изучаемыми признаками существует.

Ранговый коэффициент корреляции Кендалла τ может использоваться для измерения взаимосвязи между качественными и количественными признаками, характеризующими однородные объекты и ранжированные по одному принципу.

Коэффициент ранговой корреляции Кенделла – мера связи, основанная на числе совпадений или инверсий в ранжировках статистических признаков Х и Y.

Расчет данного коэффициента выполняется в следующей последовательности:

1) значения Х ранжируются в порядке возрастания или убывания;

2) значения У располагаются в порядке, соответствующем значениям Х;

3) для каждого ранга У определяется число следующих за ним значений рангов, превышающих его величину. Суммируя, таким образом, числа, определяют величину Р как меру соответствия последовательности рангов по Х и У. Она учитывается со знаком плюс;

4) для каждого ранга У определяется число следующих за ним рангов, меньших его величины. Суммарная величина обозначается через Q и фиксируется со знаком “–”;

5) определяется сумма баллов по всем членам ряда.

Ранговый коэффициент Кендалла определяется по формуле

 

,

 

где n – число наблюдений; S – сумма разностей между числом последовательностей и числом инверсий по второму признаку S = P – Q.

Пусть восьми испытуемым присвоены разные ранги по признакам Х и Y.

Расчет данного коэффициента выполняется следующим образом.

1. Значения Х ранжируются в порядке возрастания или убывания.

2. Значения Y располагаются в порядке, соответствующем значениям Х.

3. Для каждого ранга Y определяется число следующих за ним значений рангов, превышающих его величину. Суммируя таким образом числа, определяем величину Р как меру соответствия последовательностей рангов по Х и Y и учитываем со знаком +.

4. Для каждого ранга Y определяется число следующих за ним рангов, меньших его величины. Суммарная величина обозначается через Q и фиксируется со знаком –.

5. Определяется сумма баллов по всем членам ряда.

Пример вычисления коэффициента тау Кендалла – τ (1 обозначает наивысший ранг) приведен в табл. 13.

 

Таблица 13

Пример вычисления коэффициента тау Кендалла

 

Испытуемый	Лицо	Х – ранг первого признака	Y – ранг второго признака	Совпадения	Инверсии
	А
	С
	В
	Н
	Е F D
	G
n=8				Р=21	Q=7

 

Р = 5+6+5+3+1+0+1+1+0=21

Q = 2+0+0+1+2+2+0+0=7

 

.

 

Как правило, коэффициент Кендалла меньше коэффициента Спирмена. При достаточно большом объеме совокупности значения коэффициентов Спирмена и Кендалла имеют следующую зависимость

 

τ = 2/3 r_s.

 

3.4. Множественный коэффициент ранговой корреляции (коэффициент конкордации) – W

Множественная (общая, совокупная) корреляция – корреляционная зависимость переменной от ряда факторов (варьирующих признаков).

Множественный коэффициент ранговой корреляции W (коэффициент конкордации) – определение тесноты связи между произвольным числом ранжированных признаков.

Он используется для измерения степени согласованности двух или нескольких рядов проранжированных значений переменных.

 

W = ,

 

где К – число переменных,

N – число ранжируемых объектов,

S – отклонение суммы квадратов рангов от средней квадратов рангов ,

а – среднее суммы рангов (табл. 14).

 

Таблица 14

Пример вычисления множественного коэффициента W

Респондент (объекты)	Ранг признаков	Σ рангов в строках	Квадрат суммы
А	В	С
1- й
2- й
3- й
4- й
5- й
N =5	-	-	-	а=45