Коэффициент линейной корреляции Пирсона для несгруппированных и сгруппированных данных. Формулы для вычисления

 

Коэффициент линейной корреляции Пирсона rxy используется для двух случаев представления данных:

а) данные не сгруппированы;

б) данные сгруппированы.

Исследователей часто интересует, как связаны между собой две переменные в данной группе лиц (классы, школы, нации и т. д.). Например, имеют ли ученики, научившиеся чи­тать раньше других, тенден­цию к более высокой успе­ваемости в шестом классе? Связана ли сред­няя продолжительность ра­боты педагогов в школе не­посредственно со средней за­работной платой? Очевидно, для ответа на такие вопро­сы мы должны провести на­блюдения по каждой пере­менной для группы объектов (типичных представителей, которыми могут быть классы, школы, районы и т.д.). Данные, собранные для ответа на один из подоб­ных вопросов, могут выглядеть как на приведенной ниже групповой таблице (табл. 17).

Таблица 17

Вариант групповой таблицы

№ учащегося	Оценка IQ Стенфорда-Бине (X)	Оценка теста успе­ваемости по химии (Y)

Групповая таблица (или корреляционная решетка) – таблица с результатами совместной группировки двух варьирующих рядов, которые исследуются на корреляцию. Полезным дополнением корреляционной решетки является вычисление средних арифметических значений одного из варьирующих признаков при неизменности другого (и наоборот).

В рассматриваемом примере переменными, которые изучались у 12 шестикласников, были оценки IQ, определенные с помощью шкалы ин­теллекта Стенфорда-Бине, и успеваемость по химии, оцененная на основе теста, состоящего из 35 вопросов.

Выявлению корреляционной зависимости способствуют и определенные табличные и графические методы. Последние могут оказаться полезными и как приемы, предваряющие непосредственное вычисление коэффициента корреляции, как выявление общего направления рассматриваемой связи двух признаков.

Связь между двумя переменными можно выразить графи­чески диаграммой рассеивания. На диаграмме рассеивания каждый ученик изображается точкой. Точка, или метка, располагается в месте пересечения прямых линий, проведенных через оценку IQ перпендикулярно оси Х и через оценку теста по химии перпендикулярно оси Y для каждого ученика. Совокупность точек составляет корреляционное поле. Диаграмма на рис. 7 показывает сла­бую положительную связь Х и Y. Однако мы пока не имеем обобщенной меры этой связи. Корреляционное поле – совокупность точек на плоскости, у которой оси абсцисс и ординат есть значения двух сопоставляемых статистических признаков. Наглядным показателем тесноты связи, существующей между двумя сопоставляемыми признаками, выступает форма расположения точек на корреляционном поле.

 

Рис. 7. Диаграмма рассеивания, показывающая связь IQ (X) с успеваемостью
по химии (Y) для 12 школьников

 

Взаимосвязь между переменными можно вычислить, рассчитав коэффициент линейной корреляции Пирсона или ковариацию. Распространенная форма коэффициента линейной корреляции сопоставляет величины признаков. Она основана на вычислении “совместной дисперсии” двух переменных Х_i и У_i и делении ее на произведение отдельных среднеквадратических отклонений.

Формулой коэффициента линейной корреляции является следующая:

 

 

Эта формула сопоставляет величины признаков и в конечном счете основана на вычислении “совместной дисперсии” σ_xσ_y двух переменных x_i и y_i.

Пример вычисления. Десять испытуемых (А, Б, В, и т.д.) в эксперименте по заучиванию двузначных чисел дали по первой пробе такие результаты: 3, 4, 4, 5, 3, 4, 5, 2, 3, 5 (пример № 1-Х). Эти же испытуемые при непроизвольном запоминании слов имели такие показатели: 5, 9, 8, 6, 4, 5, 8, 7, 5, 6 (пример № 2-Y). Посмотрим, коррелируют ли между собой два этих показателя эффективности запоминания.

Вычисления удобнее вести в специальной таблице (табл. 18).

 

Таблица 18

Таблица с результатами вычислений зависимости заполнения испытуемыми чисел и слов

№ п/п	Испы-туемые	Пример №1 xi	Пример №2 yi			XY	X2	Y2
	А			- 0,8	- 1,3	1,04	0,64	1,69
	Б			0,2	2,7	0,54	0,04	7,29
	В			0,2	1,7	0,34	0,04	2,89
	Г			1,2	- 0,3	- 0,36	1,44	0,09
	Д			- 0,8	- 2,3	1,84	0,64	5,29
	Е			0,2	- 1,3	- 0,26	0,04	1,69
	Ж			1,2	1,7	2,04	1,44	2,89
	З			- 1,8	0,7	- 1,26	3,24	0,49
	И			- 0,8	- 1,3	1,04	0,64	1,69
	К			1,2	-0,3	- 0,36	1,44	0,09
		Σ =38	Σ =63	-	-	4,6	9,6	24,1