Линейная регрессия как инструмент прогнозирования

 

В психологической практике часто встречаются нелинейная и квазилинейная модель регрессии.

Главные отличия модели линейной регрессии от мер связи.

Коэффициент корреляции позволяет установить отношение между психологическими переменными, т.е. наличие и степень связи между ними. Например, узнать, что существует зависимость между эффективностью деятельности и силой мотивации. Корреляционное отношение – мера линейной или нелинейной связи Х и Y. А с помощью модели линейной регрессии мы можем пойти дальше, т.е. предсказывать по значениям, отражающим силу мотивов, возможную (вероятную) эффективность деятельности личности. В принципе, модель простой линейной регрессии предполагает только две психологические переменные, в то время как могут существовать множественные модели линейной регрессии.

Направления применения модели линейной регрессии в психологических исследованиях.

1. Приближенное аналитическое (формульное) выражение зависимости между психологи-ческими переменными, благодаря чему:

- становится возможным определение значения интересующей нас психологической переменной, не изучавшейся ранее экспериментально;

- найденные зависимости между психологическими переменными приобретут законченную математическую форму.

2. Модели линейной регрессии широко используются в целом ряде статистических процедур, активно применяемых при исследовании системы психологических переменных, в частности, модель линейной регрессии лежит в основе факторного, дисперсионного, регрессионного анализов.

Применение модели линейной регрессии основывается на корректной процедуре первичного измерения психологических переменных.

Области применения модели линейной регрессии:

Прогнозирование, диагностика социально-психологических характеристик коллективов. В данном случае модель линейной регрессии выступает в качестве основы модели прогноза.

Анализ результатов деятельности (индивидуальных или групповых).

 

6.3. Математический и графический расчет формулы линейной регрессии.
Стандартная ошибка оценки

 

Расчет линейной регрессии включает действия:

· построение уравнения регрессии;

· оценку регрессии;

· анализ.

Когда исследователь наблюдает две психологические переменные, он может изобразить их графически и найти между ними корреляцию; причем графически надо найти аппроксимирующую кривую, которая описывает взаимосвязь между Х и У (линейная, логарифмическая и т.д.). Тогда полученную кривую можно использовать для предсказания значений Х по очередному результату У (и наоборот). Выбор аппроксимирующей функции во многом определяется подготовкой исследования и представляет собой своего рода искусство.

Аппроксимация простой регрессии – приближенное аналитическое (формульное) выражение регрессии по ряду пар значений Х и Y, полученных в эксперименте.

Для построения аппроксимирующей функции решающую роль играют априорные знания о законе, связывающем те или иные психологические переменные. Например, для времени (t) реакции – гипербола, для интенсивности ощущений – логарифмическая или степенная зависимость.

Значительную роль в поиске аппроксимирующей функции играют машинные методы.

Для построения графика используется стандартный метод – т.е. метод наименьших квадратов, а сама линия, построенная по этому методу, называется линией регрессии (убывания). Линия регрессии– линия, построенная по средним значениям первого признака (зависимой переменной) с соответствующим средним интервалом признаков-факторов (независимой переменной).

Регрессия (парная) характеризует связь между двумя признаками: результативным и факторным. Аналитическая связь между ними описывается уравнениями:

прямой у = а₀ + а₁х;

гиперболы у = а₀ + а₁/х;

параболы у = а₀ + а₁х + а₂х² и т.д.

Определить тип уравнения регрессии можно, исследуя зависимость графически. Однако существуют более общие указания, позволяющие выявить уравнение связи, не прибегая к графическому изображению. Если результативный и факторный признаки возрастают одинаково – примерно в арифметической прогрессии, то это свидетельствует о том, что связь между ними линейная, а при обратной связи – гиперболическая. Если факторный признак увеличивается в арифметической прогрессии, а результативный – значительно быстрее, то используется параболическая, или степенная регрессия.

Оценка параметров уравнений регрессии (а₀, а₁ и а₂) осуществляется методом наименьших квадратов, в основе которого лежит предположение о независимости наблюдений исследуемой совокупности.

Различают регрессии линейные и нелинейные (рис. 8).

а) линейная регрессия б) параболическая регрессия

 

Рис. 8. Графики линейной и параболической регрессии

 

Наибольшее распространение имеет модель линейной регрессии, которую можно представить в виде уравнения регрессии. Уравнение регрессии – некоторое аналитическое выражение, которое представляет варьирующие значения функции.

Для простой линейной регрессии уравнение имеет вид:

= ах_i + b,

где – предсказанное значение у для i-го интервала,

b – свободный член, характеризующий значение у_i, при условии

х_i = 0,

а – коэффициент регрессии, характеризующий скорость изменения у_i в зависимости от изменения х_i.

Коэффициент регрессии – мера, характеризующая скорость изменения средних значений одной случайной величины при изменении другой. Величина а (коэффициент регрессии) выступает показателем “крутости” изменений функции (угла наклона выравнивающей прямой к оси абсцисс).

Коэффициент регрессии позволяет рассчитать, насколько в среднем изменится признак при изменении на единицу меры другого, связанного с ним признака.

а – численно равен tg a, т.е., а = tg a=Dу_i/D х_i.

Графически изображение уравнения линейной регрессии приведено на рис. 9.

Рис. 9. Графическое изображение уравнения линейной регрессии

Особенности модели линейной регрессии:

1) двойной характер предсказания:

- можно предсказывать У/Х (У по Х),

- можно предсказывать Х/У;

2) наличие ошибки оценивания. Понятие ошибки является очень важным для практического построения модели линейной регрессии.

Ошибка оценки ei – разность между фактическим значением Y объекта и значением , которое мы предсказываем для него. Стандартная ошибка оценки se – положительное значение квадратного корня из дисперсии ошибки оценки.

у_i ≈ у_i;

е_i = у_i – ;

тогда у_i = +е_i = ах_i+b+е_i,

Строить линию регрессии можно двумя способами: методом наименьших квадратов и графическим методом.