Построение уравнения регрессии

 

Различают регрессии: линейные и нелинейные.

Линейная зависимость в регрессионном анализе описывается формулой: y _x= ax + b.

Степенная регрессия: y_x= a x^в

Экспоненциальная регрессия: y _x=exp(ax + b)

Гипербола: .

Коэффициент b – свободный член уравнения, выражает действие неучтенных факторов. Например, говорит о том, что какие-то признаки (факторы) в изучаемом явлении нами не учтены.

Коэффициент a показывает связь зависимой переменной с независимой переменной, например, с изменением независимой переменной на единицу, зависимая переменная растет на величину коэффициента a (для данной выборки и в данное время).

Расчет параметров уравнения регрессии решается с помощью системы двух уравнений:

bn + a Σ x = Σ y;

b Σ x + a Σ x² = Σx y.

Для решения системы проводим расчет коэффициентов регрессии по формуле:

,

.

Например, требуется оценить (предсказать) зависимость качества работы оператора y_i от скорости работы x_i.

Данные и вычисления проведены с помощью табл. 21.

 

Таблица 21

Результаты вычислений зависимости качества работы оператора от скорости работы

№	xI (скорость работы оператора)	yI (качество работы оператора)	xI	x·y	Вычисления
					y = 2,54 + 0,32x
n =5	å x = 26	å y = 21	å = 144	å xy = 122

 

Подставляя значения a и b получаем уравнение: у = b + aх

y = 2,54 + 0,32x

Стандартная ошибка оценки:

Оценка уравнения. Для проверки правильности расчетов в полученное уравнение подставляем . Подставляя значения a в уравнение регрессии, проверяем полученное уравнение; если расчеты правильные, то мы должны получить yср для данной выборки.

Если параметры найдены верно, то получим

,

.

Подставляя в полученное уравнение эмпирические данные по независимой переменной – значения x i, найдем расчетные (теоретические) значения изучаемого признака y_i (обозначим ). Для нашего примера

,

что близко к эмпирическим значениям.

Расчетные данные дают нам возможность прогноза величины исследуемого признака (среднего его значения) при сохранении условий на генеральной совокупности.

Показатели регрессии, как и всякие другие выборочные показатели, являются случайными величинами. Их значения могут не совпадать с соответствующими значениями в генеральной совокупности. Для измерения возможной погрешности, с какой определяются выборочные показатели относительно своих генеральных параметров, служат ошибки репрезентативности, позволяющие с той или иной вероятностью устанавливать доверительные границы для генеральных параметров по данным выборочных наблюдений, оценивать статистическую достоверность показателей регрессии.

Достоверность коэффициента регрессии оценивается по критерию Стьюдента t с числом степеней свободы К = n - 2. Значимость самого уравнения регрессии оценивается с помощью
F-критерия Фишера.

Анализ уравнения регрессии. Коэффициент регрессии b =0,32 показывает, что при увеличении скорости работы на единицу в среднем 2,5 ошибки являются результатом неучтенных в уравнении факторов. Поскольку среднее число ошибок y = 4,2, то это составит более 60% всех ошибок, остальные (около 40%) объясняются учтенным фактором, т.е. скоростью работы. Окончательный вывод о предсказательной возможности уравнения регрессии можно сделать по показателю тесноты связи – в данном случае по коэффициенту корреляции r_xy и коэффициенту детерминации . Для данного примера r_xy = 0,6; Коэффициент корреляции позволяет объяснить рост изучаемой переменной У на коэффициент 0,6 в зависимости от переменной Х.

Коэффициент детерминации, умноженный на 100%, дает возможность говорить, какая доля роста всех ошибок объясняется переменной Х. Следовательно, 36% всех ошибок объясняются скоростью работы, 64% – другими факторами. Практический вывод из анализа: регулирование темпа работы не затрагивает почти две трети возможных ошибок. Следует проанализировать влияние на качество таких факторов, как условия работы, квалификация, стимулирование и т.д.