Формула интегрирования по частям

Пусть u = u (x) и v = v (x) — дифференцируемые на некотором промежутке X функции. Тогда

.

Интегрируя это выражение, получим:

,

,

откуда следует формула интегрирования по частям:

= uv – . (1)

 

С помощью формулы (1) нахождение интеграла сводится к вычислению другого интеграла . Поэтому применение формулы (1) целесообразно только тогда, когда последний интеграл может быть вычислен проще исходного. При этом за u = u (x) берётся такая функция, которая при дифференцировании упрощается, а за dv – та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой можно найти.

Для интегралов вида , , , где - многочлен, за u следует принять , а за dv – соответственно выражения , , .

Для интегралов вида , , , где - многочлен, за u следует принять соответственно функции , , , а за dv – dх.

 

Пример. Найти неопределенный интеграл

.

Решение. Пусть u = x; dv = cos 3 x dx, тогда du = dx; v = sin 3 x. Отсюда по формуле интегрирования по частям получим:

Пример. Найти неопределенный интеграл

ò (x² – 3 x + 2) e^5xdx.

Решение. Пусть x² – 3 x + 2 = u; e^5xdx = dv. Тогда du = (2 x – 3) dx; . По формуле интегрирования по частям получим:

ò (x² – 3 x + 2) e^5xdx = .

К последнему интегралу ещё раз применим метод интегрирования по частям, полагая 2 x - 3 = u; e^5xdx = dv. Отсюда следует: du = 2 dx; , и окончательно получим:

ò (x² – 3 x + 2) e^5x dx =

.

 

Пример. Найти неопределенный интеграл .

Решение. Пусть ,

тогда =

.