Студопедия — Интегрирование иррациональных функций
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Интегрирование иррациональных функций






Интегралы от иррациональных функций обычно приводят с помощью соответствующих замен или преобразований к интегралам от рациональных функций или сразу к табличным интегралам. При выборе методов решения полезны следующие правила.

 

1. Интегралы вида

,

где R – рациональная функция; , ,

преобразуются к интегралам от рациональных функций с помощью подстановки , где s – наименьшее общее кратное чисел .

Пример. Найти интеграл .

Решение. Подынтегральная функция является иррациональной функцией. Сделаем замену , откуда

= .

Подынтегральная функция полученного интеграла является неправильной рациональной дробью. Разделив числитель на знаменатель, получим

,

откуда

= = =

 

2. Интегралы вида путём выделения полного квадрата из квадратного трехчлена приводятся к табличным интегралам

или .

3. Интегралы вида путём выделения в числителе производной квадратного трехчлена, стоящего под знаком корня, раскладывают на сумму двух интегралов

= =

= ,

из которых первый – табличный, а второй рассмотрен выше.

 

Пример. Найти интеграл .

Решение. Аналогично вычислению интеграла III типа от рациональной функции, выполним три вспомогательных действия.

1) Обозначим квадратный трехчлен, стоящий под знаком корня, через = t 2, откуда, дифференцируя, получим , или .

2) Выделим в числителе дроби производную знаменателя:

.

3) Выделим в знаменателе дроби полный квадрат:

= .

Тогда исходный интеграл можно представить в виде суммы двух интегралов

= = .

Первый из полученных интегралов вычислим с помощью замены = t 2, второй – табличный. Окончательно получим:

= .

 

4. Для интегралов вида , где m, n, p – рациональные числа, точное решение может быть найдено только в трёх случаях:

1) p – целое число, тогда интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки , где s – наименьшее общее кратное знаменателей дробей m и n;

2) – целое число, тогда интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки , где s – наименьшее общее кратное знаменателей дробей m и n;

3) – целое число, тогда интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки , где s – знаменатель дроби p.

Пример. Найти интеграл .

Решение. Заданный интеграл можно представить в виде:

.

Тогда m = -3, a = 2, b = -1, n =3, p = -1/3; p Z, ,

используем подстановку :

, откуда, дифференцируя, получим , или .

Преобразуем подынтегральное выражение следующим образом:

,

тогда

= =

=

 

 







Дата добавления: 2015-09-18; просмотров: 556. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Шрифт зодчего Шрифт зодчего состоит из прописных (заглавных), строчных букв и цифр...

Картограммы и картодиаграммы Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения географической характеристики изучаемых явлений...

Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...

Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

ОЧАГОВЫЕ ТЕНИ В ЛЕГКОМ Очаговыми легочными инфильтратами проявляют себя различные по этиологии заболевания, в основе которых лежит бронхо-нодулярный процесс, который при рентгенологическом исследовании дает очагового характера тень, размерами не более 1 см в диаметре...

Примеры решения типовых задач. Пример 1.Степень диссоциации уксусной кислоты в 0,1 М растворе равна 1,32∙10-2   Пример 1.Степень диссоциации уксусной кислоты в 0,1 М растворе равна 1,32∙10-2. Найдите константу диссоциации кислоты и значение рК. Решение. Подставим данные задачи в уравнение закона разбавления К = a2См/(1 –a) =...

Экспертная оценка как метод психологического исследования Экспертная оценка – диагностический метод измерения, с помощью которого качественные особенности психических явлений получают свое числовое выражение в форме количественных оценок...

Эндоскопическая диагностика язвенной болезни желудка, гастрита, опухоли Хронический гастрит - понятие клинико-анатомическое, характеризующееся определенными патоморфологическими изменениями слизистой оболочки желудка - неспецифическим воспалительным процессом...

Признаки классификации безопасности Можно выделить следующие признаки классификации безопасности. 1. По признаку масштабности принято различать следующие относительно самостоятельные геополитические уровни и виды безопасности. 1.1. Международная безопасность (глобальная и...

Прием и регистрация больных Пути госпитализации больных в стационар могут быть различны. В цен­тральное приемное отделение больные могут быть доставлены: 1) машиной скорой медицинской помощи в случае возникновения остро­го или обострения хронического заболевания...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.01 сек.) русская версия | украинская версия