Интегрирование рациональных функций

Выражение вида , где , - многочлены степени m и n соответственно, называется рациональной дробью (рациональной функцией).

Рациональная дробь называется правильной, если m < n, и неправильной, если m n.

Если дробь неправильная, то делением многочлена на можно привести её к сумме многочлена и правильной дроби.

Элементарными дробями называют правильные дроби следующих видов:

I. ; II. , где ;

III. , где ;

IV. , где , ,

A, B, p, q, a – действительные числа.

Интегралы от элементарных дробей можно вычислить следующим образом.

I. ;

II. ;

III. Для вычисления интеграла выполним три вспомогательных действия.

1) Обозначим знаменатель дроби = t, откуда, дифференцируя, имеем , или .

2) Выделим в числителе дроби производную знаменателя:

.

3) Выделим в знаменателе дроби полный квадрат:

= .

Тогда исходный интеграл можно представить в виде суммы двух интегралов, из которых первый можно вычислить заменой = t, второй – сведением к табличному интегралу.

=

+

= .

IV. Аналогично предыдущему случаю интеграл можно представить в виде суммы двух интегралов

= ,

из которых первый найдём с помощью замены = t, а второй преобразуем, выделив в знаменателе дроби полный квадрат:

= .

Обозначив , получим

= .

Интеграл вычисляется по рекуррентной формуле:

,

которая после (n - 1)-кратного применения сводит исходный интеграл к табличному интегралу

.

 

Пример. Найти интеграл .

Решение. Данный интеграл является интегралом III типа. Выделив в знаменателе полный квадрат, приведём интеграл к табличному интегралу.

Пример. Найти интеграл .

Решение. Данный интеграл является интегралом III типа. Выполним три вспомогательных действия.

1) Обозначим знаменатель дроби = t, откуда, дифференцируя, имеем , или .

2) Выделим в числителе дроби производную знаменателя:

.

3) Выделим в знаменателе дроби полный квадрат:

= .

Тогда исходный интеграл можно представить в виде суммы двух интегралов

= 6 ,

из которых первый найдём с помощью замены = t, а второй сведём к табличному интегралу, выделив в знаменателе дроби полный квадрат. Получим

= .