Группа. Вычисление числа p с помощью метода Монте-Карло

Постановка задачи

Метод имитационного моделирования (Монте-Карло) – численный метод решения задач при помощи моделирования случайных величин.

Сущность метода заключается в том, что для решения какой-либо математической задачи, связанной с вычислением числа, строится некоторая случайная величина X, такая, что среднее значение этой случайной величины является значением искомого решения. Проводя достаточное количество раз, эксперимент со случайной величиной X, мы можем найти приближенное решение как среднее значение результатов эксперимента.

Математическая модель

Воспользуемся методом Монте-Карло для вычисления числа p.

Для вычисления числа p с помощью метода Монте-Карло рассмотрим круг радиуса 1 с центром в точке (1,1). Круг вписан в квадрат, S_КВ = 2*×2=4.

Выбираем внутри квадрата N случайных точек. Выбрать точку – это значит задать ее координаты: числа x и y. Обозначим N_{КР -} число точек, попавших при этом внутрь круга.

y

 

 

x

 

 

Если (x-1)²+(y-1)² £ 1, то точка попадает в круг, иначе она вне круга. Это и есть математическое соотношение, позволяющее для каждой точки определять, лежит ли она в круге.

Геометрически очевидно, что , отсюда

 

т. е. , т. к. S круга = p, получаем p = (6)

Формула (6) дает оценку числа p. Чем больше N, тем больше точность этой оценки. Следует заметить, что данный метод вычисления площади будет справедлив только тогда, когда случайные точки будут не «просто случайными», а еще и «равномерно разбросанными» по всему квадрату.

Вычислительный эксперимент

Выполнить вычисление числа p с помощью метода Монте-Карло при различных значениях числа N. Построить гистограмму.