Порядок проведения практических занятий

 

Практическое занятие №1

Тема: Метод Гаусса, правило Крамера для решения СЛУ. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. (2ч)

Цель занятия: Получение практических навыков при вычислении определителей второго и третьего порядков.

Знание и понимание

Сформулируйте определения определителей второго порядка, минора и алгебраического дополнения. Перечислите свойства определителей.

Сформулируйте определение обратной матрицы. Сформулируйте необходимое и достаточное условие существования матрицы, обратной данной.

1 Вычислить:

а) А^Т-3В, если

б) А+В, 2А+3В, 3А-2В, если

в). АВ, если г) АВ, если

д)А², если е) А³, если

2 Найти значение матричного многочлена ¦(А)

а)¦(х)=3х³ +х² +2, б)¦ (х)=3х² –2х +5,

3 Вычислить определители третьего порядка

а) б). в)

 

Практическое занятие №2

Тема: Метод Гаусса, правило Крамера для решения СЛУ. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. (2ч)

Цель занятия: Научить решать СЛУ методом Гаусса, по формулам Крамера, методом обратной матрицы

Знание и понимание

· Перечислите элементарные преобразования матриц. Дайте определение ранга матрицы.

· Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли.

· Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли.

· Объясните понятия «совместности», «несовместности» «определенности», «неопределенности» системы линейных уравнений.

· Запишите формулы Крамера.

· Как находят решение матричного уравнения вида АХ=В, ХА=В

1 Определить ранг матрицы:

а) б) в)

2 Решить систему уравнений по формулам Крамера:

3 Решить систему уравнений матричным методом:

4 Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

а) б) в)

Практическое занятие №3

Тема: Метод Гаусса, правило Крамера для решения СЛУ. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов (2ч)

Цель занятия: Научится выполнять операции над векторами, вычислять скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Знание и понимание

· Дать определение вектора.

· Как выполняются операции сложения, вычитания и умножения на скаляр на множестве векторов?

· Дать определение скалярного, векторного и смешанного произведения векторов.

· Какие векторы называются коллинеарными и компланарными, как проверить это условие, если векторы заданы своими координатами?

1 Векторы и заданы геометрически. Построить векторы:

2 При каких значениях и векторы и коллинеарны?

3 При каком значении m векторы и перпендикулярны?

4 Векторы и образуют угол ; зная, что вычислить:

а) ; б) ; в) ; г)

5 Вычислить скалярное произведение векторов и ,если

6 Найти угол В треугольника АВС, если А (1,2,1); В (3,-1,7); С (7,4,-2).

7 Даны векторы , . Найти .

8 Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и

9 Найти смешанное произведение векторов

10 Объем тетраэдра V=5, три его вершины находятся в точках А(2; 1; -1), В(3; 0; 1), С(2; -1; 3). Найти координаты четвёртой вершины D, если известно, что она лежит на оси oy.

11 Какую тройку образуют векторы , , , если

 

Практическое занятие №4

Тема: Уравнение прямой на плоскости; уравнение плоскости, уравнение прямой в пространстве (2ч)

Цель занятия: Научиться составлять различные виды уравнений прямой на плоскости и в пространстве; находить угол между прямыми.

Знание и понимание

· Какие виды уравнения прямой вам известны?

· Как найти угол между прямыми?

· Как проверить условия параллельности и перпендикулярности прямых?

· Уравнение плоскости

1 Найти уравнение прямой:

а) проходящей через т. А (2; 5) и имеющий угловой коэффициент k=3.

б) проходящей через т. О (0; 0) и имеющий угловой коэффициент k=-2.

в) являющейся биссектрисой координатного угла Oij.

г) отсекающей от оси Oy отрезок b=3 и имеющей угловой коэффициент k=1.

2 Даны вершины А (-7; 2), В (5; -3), С (8; 1) . Составить уравнение медианы и высоты, проведенных из вершины В.

3 Выяснить взаимное расположение двух прямых, если они пересекаются, то найти их точку пересечения: а) x+y-3=0, 2x-2y-6=0; б) x+2y+1=0, x+2y+3=0.

4 Дана прямая 2x+5y-1=0. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М (-1; 3): а) параллельно данной прямой; б) перпендикулярно данной прямой.

6 Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М₀ (2;1;-1) и имеет нормальный вектор .

7 Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М₁ (1;-1;2), М₂ (2;1;2), М₃ (1;1;4).

8 Привести к каноническому виду уравнения прямых:

а) б)

9 Найти угол между прямыми: и

10 Найти угол между прямой и плоскостью: и 2x+3y+z-1=0

Практическое занятие №5

Тема: Уравнение прямой на плоскости; уравнение плоскости, уравнение прямой в пространстве (2ч)

Цель занятия: Научиться приводить уравнения кривых второго порядка к каноническому виду.

Знание и понимание

· Какие виды уравнения прямой вам известны?

· Как найти угол между прямыми?

· Как проверить условия параллельности и перпендикулярности прямых?

· Уравнение плоскости

· Какой вид имеет каноническое уравнение эллипса? гиперболы? параболы?

1 В пирамиде ABCD, где А(2,2,2), В(4,3,3), С(4,5,4), D(5,5,6) найти а) длину ребра АВ; б) площадь грани АВС; в) объем пирамиды; г) составить уравнение высоты к плоскости АВС; д) угол между ребрами АВ и АС.

2 Найти координаты центра и радиус окружности: а) х² +у² –8х+6у-11=0;

б) х² +у² +4х-4у-1=0.

3 Построить эллипс . Найти: а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет.

4 Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки М₁ (), М₂().

5 Дана гипербола 16х² -9у² =144. Найти: а)действительную и мнимую полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) уравнения асимптот.

6 Написать уравнение параболы: а) проходящей через точки (0; 0), (1; -3) и симметричной относительно оси Ох; б) проходящей через точки (0; 0),(2; -4) и симметричной относительно оси Оу.

Практическое занятие №6

Тема: Уравнение прямой на плоскости; уравнение плоскости, уравнение прямой в пространстве (1ч)Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей (1ч)

Цель занятия: Научиться определять и строить уравнения поверхностей. Научиться выделять целую часть неправильной рациональной дроби.

Знание и понимание

· Какая рациональная дробь называется правильной? Неправильной? Примеры.

· Как представить трехчлен в виде произведения

 

1 Какие поверхности определяются следующими уравнениями. Построить эти поверхности.

а) б) в)3. г)

2 Представить в виде правильной дроби

а) б)

Практическое занятие №7

Тема: Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей (2ч)

Цель занятия: Научиться выделять целую часть неправильной рациональной дроби и представлять правильную рациональную дробь в виде суммы простейших дробей

Знание и понимание

· Какая рациональная дробь называется правильной? Неправильной? Примеры.

· Как представить трехчлен в виде произведения

 

Правильную рациональную дробь можно разложить на сумму простейших дробей, если знаменатель дроби представлен в виде сомножителей :

1 Разложить рациональные дроби на сумму простейших дробей, не находя коэффициентов разложения:

а) ; б) ;

в) ; г) .

2 Разложить на сумму простейших дробей следующие дроби:

а) ; б) .

в) ; г) –

Практическое занятие №8

Тема: Предел числовой последовательности; функции в точке и на бесконечности. Первый и второй замечательные пределы(2ч)

Цель занятия: Научиться вычислять пределы числовых последовательностей

Знание и понимание

· Сформулировать определение предела числовой последовательности;

· Перечислите свойства предела числовой последовательности

· Доказать первый замечательный предел.

 

1 Доказать, используя определение предела

а) б)

2 Вычислить предел числовой последовательности, выполняя деление на старшую степень:

а) б) в)

3 Найти пределы пользуясь таблицей эквивалентности.

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ;

з) ; и) ; к) ; л) .

 

Практическое занятие №9

Тема: Предел числовой последовательности; функции в точке и на бесконечности. Первый и второй замечательные пределы(2ч)

Цель занятия: Научиться вычислять пределы функций

Знание и понимание

· Сформулировать определение предела функции в точке, в бесконечности;

· Перечислите свойства предела функции;

· Перечислите способы раскрытия неопределенностей

 

1 Найти пределы функции, используя первый замечательный предел

а) ; б) ; в) ;

 

2 Найти пределы функции, используя второй замечательный предел

 

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

ж)

 

Практическое занятие №10-11

Тема: Предел числовой последовательности; функции в точке и на бесконечности. Первый и второй замечательные пределы(4ч)

Цель занятия: Научиться вычислять пределы функций

Знание и понимание

· Сформулировать определение предела функции в точке, в бесконечности;

· Перечислите свойства предела функции;

· Перечислите способы раскрытия неопределенностей

 

1 Найти пределы функции.

а) б) в)

г) д) ;

2 Найти пределы, разлагая на множители

а) б) в) г)

3 Найти пределы, умножая на сопряженный множитель

а) б) в)

г) ; д) ; ж) ;

з) ; и) .

Практическое занятие №12

Тема: Производная функции в точке по определению; правила нахождения производной (2ч)

Цель занятия: Научиться исследовать функцию на непрерывность, по определению вычислять производную

Знание и понимание

· Сформулировать определение производной;

· Геометрический и механический смысл производной;

· Понятия непрерывности функции, свойства, точки разрыва;

· Таблица производных основных элементарных функций

1 Исследовать функцию на непрерывность: найти точки разрыва функции и определить их тип. Построить схематический график функции.

а) б) в)

2 Найти производные функций по определению

а) б) в) г)

 

Практическое занятие №13

Тема: Производная функции в точке по определению; правила нахождения производной (2ч)

Цель занятия: Научиться вычислять производные

Знание и понимание

· Сформулировать определение производной;

· Геометрический и механический смысл производной;

· Таблица производных основных элементарных функций;

· Правила дифференцирования

 

1 Найти производные функций

а) б)

в) г)

д) е) ж)

3 Найти производные сложных функций

y = sin(3x + 1) б) у = 5cos(2 – 3x) в)

г) д) е).

ж) з) и)

4 Найти производную обратной функции

а)у = 3х + х² б) в)

г) д) е)

5 Найти производную неявной функции

а) б) в)

г) д) е)

 

Практическое занятие №14

Тема: Производная функции в точке по определению; правила нахождения производной (2ч)

Цель занятия: Научиться находить дифференциал функции, вычислять производные функции, заданной параметрически, логарифмическую производную

Знание и понимание

· Сформулировать определение производной;

· Геометрический и механический смысл производной;

· Понятия непрерывности функции, свойства, точки разрыва;

· Таблица производных основных элементарных функций

1 Найти производную функции, заданной параметрически

а) б) в)

2 Найти логарифмическую производную

а) б) в)

г) д) е)4.7.

3 Составить уравнение касательной и нормали к кривой в указанной точке.

а) в точке х=-1 б). в точке х= 2

в) в точках пересечения с осью Ох

4 Тело движется прямолинейно по закону s(t). Определить скорость и ускорение тела в указанный момент времени t₀:

а) s(t)=t ³ -2t ² –t, t₀ =2; б)

5 Найти дифференциал функции:

а) б)

6 Найти приближенные значения:

а) б) в)

 

Практическое занятие №15

Тема: Построение графика функции, используя общую схему исследования функции (2ч.)

Цель занятия: Научиться определять экстремум функции, промежутки выпуклости(вогнутости), асимптоты графика функций.

Знание и понимание

· Сформулировать определение экстремума функции, выпуклости(вогнутости), асимптоты графика функций;

· Сформулировать необходимые и достаточные условия экстремума функции, выпуклости(вогнутости);

· Сформулировать теоремы для нахождения асимптот графика функций;

· Схема исследования функции

1 Найти промежутки монотонности и экстремумы функции:

а) б) в)

2 Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:

а) на отрезке б) на отрезке

3 Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции:

а) б) в)

4 Найти асимптоты графика функции:

а) б) в)

г)

 

Практическое занятие №16

Тема: Построение графика функции, используя общую схему исследования функции (2ч.)

Цель занятия: Научиться решать прикладные задачи.

 

Знание и понимание

· Сформулировать определение экстремума функции, выпуклости(вогнутости), асимптоты графика функций;

· Сформулировать необходимые и достаточные условия экстремума функции, выпуклости(вогнутости);

· Сформулировать теоремы для нахождения асимптот графика функций;

· Схема исследования функции

1 Найти размеры прямоугольника с наибольшей площадью, вписанного в прямоугольный треугольник, катеты которого и , а один из углов прямоугольника совпадает с прямым углом треугольника?

2 Гипотенуза прямоугольного треугольника . Каковы должны быть катеты и , чтобы периметр треугольника был наибольшим?

3 Консервная банка цилиндрической формы с дном и крышкой должна вмещать v см³. Каковы должны быть размеры банки, чтобы на ее изготовление пошло наименьшее количество материала.

4 Бак без крышки с квадратным основанием должен вмещать v литров воды. Каковы должны быть размеры бака, чтобы на его изготовление было затрачено наименьшее количество материала?

 

Практическое занятие №17

Тема: Построение графика функции, используя общую схему исследования функции (2ч.)

Цель занятия: Научиться исследовать, и строить график функций.

 

Знание и понимание

· Сформулировать определение экстремума функции, выпуклости(вогнутости), асимптоты графика функций;

· Сформулировать необходимые и достаточные условия экстремума функции, выпуклости(вогнутости);

· Сформулировать теоремы для нахождения асимптот графика функций;

· Схема исследования функции

1 Исследовать и построить график функции:

а) б) в)

 

Практическое занятие № 18

Тема: Графы (ориентированные, неориентированные) (4ч)

Цель занятия: Научиться строить графы и использовать графы при моделировании прикладных задач

Знание и понимание

· Сформулировать определение графа (ориентированные, неориентированные);

· Сформулировать критерии двудольности графа;

· Сформулировать критерии эйлеровости графа;

· Сформулировать определения дерева, понятия изоморфизма.

1 Доказать изоморфность следующих графов:

 

 

 

2 Частный предприниматель рассматривает возможность открытия торгового центра. Работы, которые необходимо выполнить при реализации проекта, их взаимосвязь и время выполнения каждой из работ указаны в следующей таблице.

Построить сетевой график.

3. На графе представлена сеть автодорог некоторого региона, каждое ребро графа характеризуется средним временем, затрачиваемым на проезд данного участка. Необходимо определить минимальный по времени прохождения маршрут из начальной точки (Н) в конечную точку (К)

 

4

2

4 6 5

B L5ZqxoUIHhEStRkej4ajQMcqwalf9GnWLOa5MGhFvMvCE5qFlYdpRi0lDWA1I3S6jx3hAmLkgkrO cNBNMOx3axjFSDC4WD7a0RPS7widA+F9tDPa+/FgPD2ZniS9ZHg07SWDoug9n+VJ72gWH4+KZ0We F/EHTz5O0ppTyqTnf2f6OPk7U+2v386uB9sfhIoeowdFgezdO5AOJvDnvnPQXNHNhfHdeT+Az0Py /k76i/RwHrLu/xyTXwAAAP//AwBQSwMEFAAGAAgAAAAhAEs/u87cAAAABwEAAA8AAABkcnMvZG93 bnJldi54bWxMjkFPwkAQhe8m/ofNmHgxsG0Vg6VbYlT0ZIgF70t3aBu6s013gfbfO3qR0+Tle3nz ZcvBtuKEvW8cKYinEQik0pmGKgXbzWoyB+GDJqNbR6hgRA/L/Poq06lxZ/rCUxEqwSPkU62gDqFL pfRljVb7qeuQmO1db3Xg2FfS9PrM47aVSRQ9Sqsb4g+17vClxvJQHK2C12I9W33fbYdkLD8+i/f5 YU3jm1K3N8PzAkTAIfyX4Vef1SFnp507kvGiVZAk8RNXGfBhfh89xCB2f1nmmbz0z38AAAD//wMA UEsBAi0AFAAGAAgAAAAhALaDOJL+AAAA4QEAABMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAFtDb250ZW50X1R5 cGVzXS54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAOP0h/9YAAACUAQAACwAAAAAAAAAAAAAAAAAvAQAAX3Jl bHMvLnJlbHNQSwECLQAUAAYACAAAACEAC/zoE2cCAACBBAAADgAAAAAAAAAAAAAAAAAuAgAAZHJz L2Uyb0RvYy54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEASz+7ztwAAAAHAQAADwAAAAAAAAAAAAAAAADBBAAA ZHJzL2Rvd25yZXYueG1sUEsFBgAAAAAEAAQA8wAAAMoFAAAAAA== "> 8

К

5 4

Н

1 5

 

7 4 1 5

5 1

5 3 4

 

Практическое занятие № 19

Тема: Графы (ориентированные, неориентированные) (4ч)

Цель занятия: Научиться строить графы и использовать графы при моделировании прикладных задач

Знание и понимание

· Сформулировать определение графа (ориентированные, неориентированные);

· Сформулировать критерии двудольности графа;

· Сформулировать критерии эйлеровости графа;

· Сформулировать определения дерева, понятия изоморфизма.

1 Найти минимальное остовное дерево с помощью:

а) «жадного» алгоритма; б) правила ближайшего соседа.

.

 

 

 

 

S

t

.

.

2С помощью алгоритма Дейкстры найти кратчайший путь из вершины в вершину .

 

 

.

.

.

.

.

.

3 Установить, изоморфы ли графы.

.

.

.

.

.

.

 

 

 

 

4Методом «ветвей и границ» решить задачу коммивояжера с 5 городами и заданной матрицей расстояний:

 

Практическое занятие № 20

Тема: Неопределенный интеграл (2ч.)

Цель занятия: Научиться вычислять неопределенные интегралы

Знание и понимание

· Сформулировать определение неопределенного интеграла;

· Перечислить свойства неопределенного интеграла;

· Основные методы интегрирования неопределенного интеграла.

1 Вычислить интегралы:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) .

2. Вычислить интегралы методом подстановки:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) .

3. Вычислить интегралы методом интегрирования по частям:

а) ; б) ; в) ; г) д)

 

Практическое занятие № 21

Тема: Неопределенный интеграл (2ч.)

Цель занятия: Научиться вычислять неопределенные интегралы от рациональных функций

Знание и понимание

· Сформулировать определение неопределенного интеграла;

· Интегрирование рациональный функции

 

1 Вычислить интегралы от рациональных функций:

а) ; б) ; в) ;

г) . д) ; е) ;

ж) .

 

Практическое занятие № 22

Тема: Неопределенный интеграл (2ч.)

Цель занятия: Научиться вычислять неопределенные интегралы от тригонометрических функций

Знание и понимание

· Сформулировать определение неопределенного интеграла;

Интегрирование тригонометрических функций

1 Вычислить интегралы от тригонометрических функций:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) ; и) .

Практическое занятие № 23

Тема: Неопределенный интеграл (2ч.)

Цель занятия: Научиться вычислять неопределенные интегралы от иррациональных функций

Знание и понимание

· Сформулировать определение неопределенного интеграла;

· Перечислить свойства неопределенного интеграла;

· Интегрирования иррациональных функций

 

1 Вычислить интегралы от иррациональных функций:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

ж) .

 

Практическое занятие № 24

Тема: Неопределенный интеграл (2ч.)

Цель занятия: Научиться вычислять неопределенные интегралы

Знание и понимание

· Сформулировать определение неопределенного интеграла;

· Перечислить свойства неопределенного интеграла;

1 Вычислить неопределенный интеграл

а) б) в) г)

д) е) ж) з)

и) к) л) м)

 

Практическое занятие №25

Тема: Определенный интеграл(2ч)

Цель занятия: Научиться вычислять определенные интегралы

Знание и понимание

· Сформулировать определение определенного интеграла;

· Перечислить свойства определенного интеграла;

· Формула Ньютона-Лейбница;

· Основные методы интегрирования определенного интеграла;

1. Вычислить определенные интегралы

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) ⇐ Предыдущая12