Неразрывность потока. Уравнение Бернулли

В предыдущих параграфах (3.4., 4.1.) при описании вещества в модели сплошной среды нами рассматривались две простейшие ситуации. Либо мы имели дело с движением специфической «квазичастицы» индивидуального типа – малого элемента объёма среды D V, состоящего из одних и тех же атомов, вблизи фиксированного положения равновесия. При этом нам удалось получить достаточно подробное описание малых отклонений параметров среды от их равновесных значений с течением времени; например, уравнение волны.

Либо мы рассматривали сохраняющиеся физические величины, присущие сплошной среде, для одного и того же фиксированного конечного элемента объёма D V независимо от того, какие атомы находились в нём в заданный момент времени. При таком подходе удалось получить некоторые представления о свойствах сплошной среды в целом, атомы которой способны совершать произвольное поступательное движение. В частности, это относится к плотности и давлению сплошной среды.

Из всего сказанного следует, важнейшая особенность макроскопических элементов сплошной среды как «частиц» состоит в том, что они не могут двигаться независимо. Любое их движение должны быть таким, чтобы не разрушить целостность среды. Для выяснения условия, обеспечивающего «непрерывность» сплошной среды, полезно обратиться к закону сохранения массы, справедливому в нерелятивистском приближении; скорость движения элементов среды много меньше скорости света , .

Рис. 4.5.

DVi

DVi

Пусть у нас есть изолированный макроскопический объект сплошной среды (жидкости или газа) объёмом (рис. 4.5. а), полная масса которого М постоянная (равна const). Разобьём его мысленно на элементы объёма , имея в виду, что (рис. 4.5. а); здесь – переменная масса, заключённая в объёме , причём = r(r,t)× . Будем считать, что плотность вещества в элементе равна плотности макроскопического объекта сплошной среды, .

Поскольку масса , т.е. остаётся постоянной, массы разных элементов объёма должны меняться со временем согласованно. Изменение массы в каждом элементе объёма проявляется в том, что плотность среды r(r,t) зависит от времени. Однако ввиду сохранения массы во всём теле, в целом эти изменения могут возникнуть только потому, что какое-то число молекул в каждый момент времени покидает элемент объёма , а какое-то другое их число попадает вновь в этот элемент. Другими словами, имеется поток массы переносимый молекулами через поверхность, ограничивающую объём (рис. 4.5. б). Стрелками показано движение молекул через поверхность элемента объёма . Таким образом, поскольку источники массы внутри объёма отсутствуют, то изменение массы в объёме в единицу времени равно потоку массы переносимому частицами через поверхность этого объёма. Аналитически это может быть записано . Эту формулу называют уравнением неразрывности потока.

Если плотность среды со временем не изменяется, сплошная среда называется стационарной. В стационарном случае вводят понятие трубки тока. Ею называется всякий объём сплошной среды (жидкой или газообразной), боковые стенки которого (рис. 4.6.) образованы линиями тока. Трубка тока выделена тем, что вдоль её боковой поверхности всюду скорость перпендикулярна площади потока S. При этом поток через боковую поверхность отсутствует (рис. 4.6.). В этом случае смысл закона неразрывности потока прост – вдоль трубки тока расход стационарной среды не изменяется и модуль скорости всегда обратно пропорционален сечению трубки тока.

Рис. 4.6.

Общей чертой закона сохранения массы является то, что он справедлив для любой жидкости. Переходя к рассмотрению поступательного движения элемента жидкости во внешних потенциальных полях сил, мы должны быть внимательны к особенностям жидкости. Прежде всего, это будет касаться закона сохранения энергии, говорить о котором имеет смысл только для идеальной жидкости. В этом случае потерями энергии за счёт хаотических процессов можно пренебречь. Кроме того, будем считать жидкость несжимаемой, что означает – плотность её массы = const; (разумеется, для газов такое предположение несправедливо). При таком приближении речь может идти только о рассмотрении поступательного движения элемента жидкости во внешних потенциальных полях сил. К их числу относятся как объёмные силы, в частности, гравитационные, действующие на каждую частицу жидкости, так и упругие силы, вызываемые давлением на элемент жидкости в целом со стороны стенок сосуда. В этом предельном случае роль сохраняющейся величины играет механическая энергия элемента жидкости.

Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости трубку тока (рис. 4.7.). Рассмотрим объём жидкости, ограниченный стенками трубки тока (реальной трубы). Будем считать, линии тока перпендикулярны сечениям трубки тока S₁ и S₂. За малое время Dt сквозь сечение S₁ пройдёт эле

Рис. 4.7.

P1

P2

ментарный DV₁ объём жидкости в форме цилиндра с основание S₁ и длиной цилиндра ; каждый объём прошедшей через S₁ жидкости массой m = r×DV₁ несёт кинетическую энергию и потенциальную энергию m×g×h₁ (рис. 4.7.). Внешняя сила , действующая в сечении S₁, смещает указанный объём жидкости DV₁ на расстояние и поэтому совершает положительную работу, равную (рис. 4.7.).

В приближении идеальной и несжимаемой жидкости, и приняв во внимание уравнение неразрывности потока, нетрудно понять, через сечение S₂ за то же самое время должен выйти тот же объём жидкости DV₁; т.е. DV₁ = DV₂ = S₂× . Здесь внешняя сила совершает отрицательную работу, равную . Иных изменений в данной области не происходит. Поэтому изменение полной энергии DW равно разности полных энергий втекающей и вытекающей масс. Учитывая, что полная энергия слагается из кинетической и потенциальной составляющих, получим

DW = () – () (1)

В соответствии с законом сохранения энергии изменение энергии, представленное уравнением (1), равно работе DА внешних сил (давления) по перемещению массы жидкости m = r = r ; т.е. DW = DА. Поэтому DА может быть записано

DА = – (2)

Приравняв правые части уравнений (1) и (2), читатель может самостоятельно получить уравнение Бернулли. Действительно, если учесть уравнение неразрывности потока, m = r×DV₁ = r×DV₂, а отсюда следует = , тогда (преобразования самостоятельно проделали?). Поскольку выбор сечений S₁ и S₂ произволен, уравнение Бернулли записывается в виде:

= const (3)

Следовательно, в установившемся потоке идеальной жидкости полное давление, слагающееся из динамического, гидравлического и статического давлений, постоянно на любом поперечном сечении потока. Уравнение (3) применимо и для газа. Это допустимо, если, например, воздух движется со скоростью не превышающей ~ 200 м/с; вязкостью и сжимаемостью газа при таком движении ещё можно пренебречь.

4.3. Давление под искривлённой поверхностью жидкости.