Барометрическая формула

До сих пор мы рассматривали идеальный газ в состоянии теплового равновесия как совокупность реальных частиц испытывающих столкновения и подчиняющихся законам динамики системы частиц. Перейдём к учёту воздействий на идеальный газ внешних полей. Будем рассматривать их в одночастичном приближении. В этом приближении идеальный газ может быть представлен совокупностью свободных «квазичастиц» индивидуального типа, каждая из которых движется независимо с эффективной скоростью, вообще не участвуя в каких-либо столкновениях. При таком подходе включение внешнего поля сопровождается движением каждой из квазичастиц в этом поле. Задача состоит в том, чтобы выяснить, как воздействие внешних полей сказывается на характеристиках газа в целом.

Поскольку взаимодействие в газах не является сильным и можно воспользоваться одночастичным приближением, дополним его приближением «среднего поля». Согласно этому приближению взаимодействие частиц можно учесть, перейдя от совокупности взаимодействующих «квазичастиц» к совокупности независимых «квазичастиц», движущихся в некоем внешнем «среднем поле». Учёт такого взаимодействия также оказывает воздействие на свойства газа в целом.

Итак, мы помещаем газ в потенциальное внешнее поле. Для простоты пусть это будет поле тяготения вблизи поверхности Земли. Его можно считать однородным. Действительно, по закону тяготения Ньютона тела притягиваются к Земле с силой . Здесь G – постоянная всемирного тяготения, равная 6,67×10^–11 (Н×м²) / кг²; R и М_З – соответственно, радиус и масса Земли; m – масса элемента газа. На высоте h от поверхности Земли выражение силы принимает вид: . Найдём разность силы тяжести на поверхности Земли и на высоте h от поверхности Земли, т.е. . Набравшись терпения и проведя преобразования, читатель получит аналитическое выражение вида: . Возводя в квадрат в числителе второго множителя, и проведя ещё раз преобразования, получим выражение вида; . Проанализируем выражение в скобках. Если учтём, что атмосферный слой простирается до 25÷30 км, а радиус Земли R порядка 6400 км, немедленно получаем – второе слагаемое в скобках ~ 2×10^–5. Читатель может самостоятельно убедиться в том, что первое слагаемое в скобках не превышает 1×10^–2. Таким образом, разность силы тяжести на высоте 30 км составляет порядка одной сотой от силы тяжести на поверхности Земли. Если высота h составляет десятки или сотни метров, то разность силы тяжести будет ещё меньше, что даёт основания считать поле тяготения вблизи поверхности Земли однородным. Однако теперь закон Паскаля о постоянстве давления для выделенного элементарного объёма газа D V, помещённого в потенциальное внешнее поле Земли, справедлив только в направлениях, где поле Земли отсутствует (рис. 5.2.).

Рис. 5.2

Действительно, на каждую частицу выделенного объёма газа D V в направлении оси Z теперь действует сила тяготения , направленная в противоположную оси Z

Z

сторону (см. рис. 5.2.); здесь – масса частицы. Учитывая, что на элемент объёма газа D V действует сила m × g = – × n ×D V × g, где m – масса объёма газа D V, выраженная через концентрацию частиц n и объём выделенного элемента газа , условие равновесия сил, действующих на элемент D V объёма газа в направлении оси Z, примет вид: – m _о× n ×D V × g = , здесь – давление окружающего газа на нижний уровень S выделенного объёма газа D V (см. рис. 5.2.); – давление окружающего газа на верхний уровень выделенного объёма D V; – площадь основания элемента D V объёма; знак «–» обусловлен тем, что направление силы тяготения противоположно направлению оси Z (см. рис.5.2.), тогда как разность давлений окружающего газа на верхнюю и нижнюю грани объёма D V создаёт силу давления , направленную в положительном направлении оси Z, т.е. вверх.

Почему сила давления окружающего газа на выделенный элемент объёма D V направлена вверх? На с. 53 показано, ; отсюда следует, только два параметра определяют давление газа – концентрация молекул газа n и его температура Т. Ранее, на с. 54, показано, температура Т среды определяет энергию поступательного движения молекул газа. Наш жизненный опыт подтверждает, численное значение температуры вблизи поверхности Земли в данном месте относительно постоянно по высоте. Естественно предположить, величина давления р «чувствительна» к концентрации молекул газа n в единице объёма. Если учесть рассуждения данного абзаца, условие равновесия сил на элемент объёма газа D V принимает вид: – m _о× n ×D V × g = = . Так как D z мало, следует ожидать, разность концентраций частиц по высоте (рис. 5.2.) с координатами z и z+Dz может быть записана . Аналитическая запись условия равновесия сил принимает конечный вид: . Читатель, рассуждая, должен пояснить себе, при каком соотношении числовых значений сила давления окружающего газа на выделенный элемент объёма D V совпадает с направлением оси Z (подсказку можно усмотреть на рис.5.2.).

Проанализируем условие равновесия сил на выделенный элемент объёма газа : ; здесь – масса квазичастицы газа; k – постоянная Больцмана, численное значение которой приведено на с. 53; S –площадь выделенного элемента объёма газа , находящегося во внешнем силовом поле; Т и g, соответственно, характеристики температурного поля среды и внешнего силового поля. Если учесть, что , то после несложных преобразований уравнения равновесия читатель самостоятельно может получить формулу вида: . Из неё следует, скорость изменения концентрации газа с высотой определяется концентрацией частиц в единице объёма n и отношением между силовым и потенциальным полем. Переходя к бесконечно малым величинам , формула принимает вид: ; получили уравнение в дифференциальной форме. Данное уравнение позволяет найти зависимость концентрации частиц в атмосфере у поверхности Земли в условиях теплового равновесия. Действительно, разделяя переменные и проводя интегрирование , получаем уравнение вида: ; здесь n и z переменные, символы у интегралов сверху и снизу показывают, соответственно, максимальное и минимальное значение, принимаемое переменными. Подставляя эти значения в уравнение, получаем аналитическое выражение вида: ; если учесть, что разность логарифмов равна логарифму частного, выражение запишется: . Наконец, проведя последнюю математическую операцию – потенцирование, получаем формулу, характеризующую зависимость концентрации частиц в атмосфере у поверхности Земли в условиях теплового равновесия: . Из неё следует – «борьба» между внешним потенциальным полем и тепловым определяет распределение частиц в атмосфере; чем меньше потенциальная энергия молекул, тем больше их плотность.

Учитывая, что закон Клапейрона-Менделеева справедлив для любой точки формула распределения концентрации частиц может быть переписана для давления газа в атмосфере у поверхности Земли. Действительно, . Полученная формула называется барометрической.

Повторяя те же рассуждения, формула распределения концентрации частиц во внешнем поле может быть обобщена на произвольное потенциальное поле; в дальнейшем нам с этим придётся встретиться. Формулу для концентрации частиц во внешнем поле в условиях теплового равновесия принято называть формулой Больцмана: .

Завершая экскурс в раздел «Тепловые явления. Термодинамический и статистический методы исследования», перечислим его ключевые понятия: термодинамическая система, макро- и микропараметры системы, состояние системы, «квазичастица» индивидуального типа, идеальный газ, основное уравнение кинетической теории газов; тепловое равновесие, понятие температуры (эмпирической), степень свободы молекулы, равнораспределение энергии по степеням свободы; идеальный газ во внешнем поле, барометрическая формула, распределение Больцмана.