Пример 17.

Предприятие «Кронос» занимается производством резиновых изделий. В будущем году оно хотело бы расширить ассортимент своей продукции и производить резиновые прокладки для смесителей воды. Для этого необходимо провести исследование спроса на данный вид продукции.

Для того чтобы дать количественную модель, выражающую основную тенденцию изменения уровней динамического ряда во времени, используется аналитическое выравнивание ряда динамики.

Простейшей моделью (формулой), выражающей тенденцию развития является

линейная функция – прямая

у_t = а₀ + а₁∙t,

где y_t - теоретические уровни,

а₀ и а₁ – параметры прямой,

t – показатель времени (дни, месяцы, годы и т.д.).

Для нахождения параметров а₀ и а₁ необходимо решить систему нормальных уравнений

 

а₀∙n + a₁∑t = ∑y,

a₀∑t + a₁∑t² = ∑yt,

где у – фактические уровни ряда динамики,

n – число уровней.

Для упрощения расчётов обозначим время так, чтобы начало его отсчёта приходилось на середину рассматриваемого периода.

Представим это в таблице 4.17

Таблица 4.17

Расчётные данные для определения параметров системы нормальных уравнений и выровненных теоретических значений.

год	Средний объем спроса (руб.), у	t	t2	y∙t	_ yt
		-2		-3222	1330,4
		-1		-1879	1931,3
					2532,2
					3133,1
Итого:	∑у = 12 661	∑t = 0	∑ t2= 10	∑y∙t = 6009	∑ yt = 12 661

Так как ∑t = 0, то система нормальных уравнений примет вид

 

а₀∙n = ∑у,

а₁∑t² = ∑yt.

Отсюда

∑у ∑уt

а₀ = ——; а₁ = ————

n ∑t²

12 661 6009

а₀ = ———— = 2532,2руб. а₁ = ———— = 600,9руб.

5 10

 

Уравнение прямой будет иметь вид

у_t = 2532,2 + 600,9∙t

Подставив в это уравнение значение t (таблица 2, графа 3), получим выравненные теоретические значения (таблица 2, графа 6).

у_t1 = 2532,2 + 600,9∙(-2) = 1330,4руб.

у_t2 = 2532,2 + 600,9∙(-1) = 1931,3руб.

у_t3 = 2532,2 + 600,9∙0 = 2532,2руб.

у_t4 = 2532,2 + 600,9∙1 = 3133,1руб_

у_t5 = 2532,2 + 600,9∙2 = 3734руб.

Полученное уравнение показывает, что, несмотря на колебания в отдельные годы, наблюдается тенденция увеличения объема спроса на резиновые прокладки для смесителей воды: с первого по пятый годы спрос увеличивался в среднем на 600,9 рублей в год. Поэтому можно предположить, что в ближайшем году спрос увеличится на 600,9 рублей.

Динамику спроса можно представить в графическом виде:

 

- выравненные уровни спроса

- эмпирические уровни спроса

Рис. 4.2. Динамика спроса.

 

Пример 18.

В обеде покупатели приходят в магазин в среднем по 27 человек в час. Прибытие может быть описано распределением Пуассона со средней вели­чиной 27. Каждый продавец обслуживает клиента в среднем за 3 мин. Это время может быть описано экспоненциальным распределением со средним значением 3. Определить темпы прибытия и обслуживания, среднее число обслуженных клиентов, предположив, что среднее число ожидающих в оче­реди посетителей 2,7. Рассчитать среднее число посетителей в системе, сред­нее время ожидания и среднее время нахождения в системе. Определить за­грузку системы для количества 2,3,4 каналов.

Решение.

= 27 чел/час – темп прибытия посетителей.

= 3 мин.чел/час – темп обслуживания.

r = 27 / 20 = 1,4 чел. – среднее число обслуженных клиентов.

L_s = 2,7 + 1,4 = 4,1 чел. – число клиентов в системе.

W_q= 2,7 / 27= 0,1 часа – 6 мин. – среднее время ожидания в очереди.

W_s = 3+6=9 мин. – среднее время в системе.

Для 2 каналов =.

Для 3 каналов =.

Для 4 каналов =

 

Пример 19

Банк планирует открыть дополнительную кассу для обслуживания граждан. Работать будет один кассир. Предполагается, что в среднем будут обра­щаться 23 клиентов в час. Применяя распределение Пуассона, время обслу­живания описывается экспоненциальным законом и среднее время обслужи­вания, рассчитанное на основе прошлого опыта примерно 2,5 мин. на чел. Определить загрузку системы, процент времени простоя системы, предпола­гаемое число клиентов ожидающих обслуживания, среднее время, которое клиент проведет в системе, вероятность нулевого числа клиентов в системе, вероятность нахождения в системе 5 человек.

Решение.

чел/час

=2,5 мин.= 24 чел/час

= 0,96 – загрузка системы.

1 – 0,96 = 0,04 – 4% время простоя.

L_q = чел.- число клиентов ожидающих обслуживания.

W_q = 22 / 23=0,96 часа или 57,6 мин.

W_s = 57,6 + 2,5 = 60,1 мин.- среднее время, которое клиент проведет в сис­теме.

Р₀ = 1 – 23/24=0,04 – 4% - вероятность нулевого числа клиентов в системе.

Р₅ = 0,04 0,96⁵ = 0,03 – 3% - вероятность нахождения в системе 5 человек.