Аль‑Мукабала!

(Сева – Нулику)

 

Селям алейкум, старина! Я теперь тоже умею говорить по‑восточному. Поживешь в Аль‑Джебре – не то еще узнаешь!

Сегодня мы учились решать уравнения. Правда, пока еще первой степени. Но и это не так уж мало.

Здесь есть особая площадка, где решают эти уравнения. И не как‑нибудь вручную, а подъемными кранами. Механизация!

Когда подходишь к этой площадке, видишь одни только краны. Длинношеие, вроде жирафов. Жирафы то поднимают голову, то опускают, то тянутся друг другу навстречу. Только переносят они не кирпичи, не блоки, а буквы, числа, знаки сложения, вычитания. Словом, все, что понадобится.

Таня оставила в покое свой фасонистый комбинезон, пришла в школьном платье. И очки сняла. Правильно сделала: электросваркой ей здесь заниматься не пришлось.

Что нам бросилось в глаза, – это иксы. Их здесь видимо‑невидимо. Ведь там, где решают уравнения, без иксов не обойтись.

Эф не отпускала нас ни на шаг. Наверное, боялась, как бы кого не ушибло краном, хотя везде и так развешаны плакаты:

 

ПОД КРАНОМ НЕ СТОЯТЬ!

Во время аль‑джебры и аль‑мукабалы к уравнениям не подходить!

 

Высоко‑высоко, в кабинке крана, сидела молоденькая крановщица – буква Ка. Она передвигала рычаги и зорко следила за регулировщицей Эр. Та стояла внизу. В каждой руке – по флажку. Ими она указывала крановщице, куда двигать кран.

Под краном чинно стояли Икс в черной маске, Двойка и Шестерка. Они образовали такое уравнение: х – 2 = 6.

Регулировщица медленно опустила один флажок, и так же медленно наклонил свою жирафью шею кран с большим крюком на конце. Крюк осторожно подцепил Двойку, которая торопливо прихватила свой минус. Регулировщица помахала флажком, и кран замер. Потом она крикнула: «Аль‑джебр!» – прямо как у нас кричат «майна» или «вира». И вот уже Двойка с минусом заболтала ножками в воздухе и поплыла к правой части уравнения.

Когда она поравнялась со знаком равенства, регулировщица скомандовала: «Переменить знак!» Двойка быстро положила минус в карман и вынула оттуда знак плюс. И вот уже она рядом с Шестеркой в правой части равенства: х = 6 + 2.

А через секунду вместо этого мы увидели: х = 8.

Черная маска упала, Икс поднял ее, низко поклонился Ка и Эр и скрылся. А мы перешли к другому крану. Там уже стояло такое уравнение: 3х + 6 = 12.

Снова крановщица нажимала на рычаги, снова регулировщица махала флажками, кричала: «Аль‑джебр!» – и скоро под краном появилось вот что: 3х = 12 – 6.

Мы переглянулись.

– В чем дело? – спросила Эф. – Что‑нибудь непонятно?

– Непонятно, – признался Олег. – До сих пор нам показывали только такие задачи, где отрицательное число переносится из левой части равенства в правую и превращается в положительное. Действие это называется «аль‑джебр», по‑нашему – восстановление. На этот раз в левой части равенства было положительное число шесть, и его перенесли в правую часть со знаком минус. При чем же здесь восстановление?

– Законный вопрос, – развела руками Эф. – Но вспомните, что «аль‑джебр» – слово, пришедшее к нам из далекой древности. А древние слова по дороге часто теряют свое первоначальное значение. Взять хоть слово «чернила». Поначалу чернила были только черные. Сейчас есть и красные, и зеленые, и синие, и фиолетовые. Но никто же не называет их ни краснилами, ни синилами!

– Как интересно! – сказала Таня. – Таких слов, наверное, много.

– Перочинный ножик! – вспомнил я. – Раньше им перья чинили, а теперь карандаши.

– Правильно! – сказала Эф. – То же самое случилось и со словом «аль‑джебр». Мухаммед ибн Муса применил его тогда, когда отрицательные числа были бесправными. Перенося их в правую часть равенства с положительным знаком, он восстанавливал их в правах. Но отношение к отрицательным числам давно уже переменилось. И теперь понятие «аль‑джебр» расширилось. Оно означает не только перенос отрицательного числа из одной части равенства в другую с положительным знаком, но и вообще перенос любого числа с обратным знаком. Но вернемся все‑таки к нашему уравнению, – закончила свою речь Эф.

Мы посмотрели на площадку. Там теперь вместо 3х = 12 – 6 стояло: 3х = 6.

Странное дело: уравнение решено, а на Иксе по‑прежнему черная маска.

– Ошибаетесь, – сказала Эф. – Решить уравнение – значит вычислить, чему равен один икс. Мы же пока знаем, чему равны три икса.

– Ну, это нетрудно, – сказал Олег. – Чтобы вычислить икс, надо шесть разделить на три.

И словно в ответ на его слова, кран приподнял число Шесть над землей и плавно опустил на двухэтажную тележку. Потом крюк подцепил коэффициент при Иксе – Тройку, перенес ее в правую часть равенства и поставил под числом Шесть: х = 6/3

Тележку быстро откатили, и на месте дроби 6/3 появилась Двойка: х = 2.

– Э‑э, нет, – запротестовал я, – так не годится. Ведь числа переносятся в правую часть равенства с обратным знаком. Почему же это Тройку перенесли с тем же?

– Да потому, что в этом уравнении Тройка не слагаемое, а коэффициент при Иксе. А коэффициент – это множитель, не так ли? Коли три в левой части множитель, так в правой оно превращается в делитель. Стало быть, правило сохранилось, потому что деление и умножение такие же обратные действия, как сложение и вычитание.

Не удается мне их подловить на ошибке. Пришлось прикусить язык и вместе со всеми перейти к следующему уравнению. Его решал уже не один, а два крана. В каждом сидела крановщица. А регулировщица, как и прежде, была всего одна. Наверное, многостаночница. Уравнение было такое: 6х – 7 = 2х + 8 – x.

На этот раз регулировщица дала команду подлиннее: «Аль‑джебр! Аль‑мукабала!». И сейчас же один кран подцепил все иксы справа вместе с коэффициентами и перенес с обратными знаками в левую часть уравнения. В то же время второй кран подхватил Семерку с минусом и перенес в правую часть. При этом Семерка тоже переменила знак минус на плюс: 6х – 2х + х = 8 + 7.

Потом регулировщица (точь‑в‑точь как Главный Весовщик) скомандовала: «Подобные, приведитесь!» – и вместо прежнего выражения перед нами очутилось новое: 5х = 15.

Что было дальше, ты, уж наверное, сам догадался. Под краном появилось: х = 3, и черная маска упала.

– Скажите, – спросила Таня, – почему это в первый раз регулировщица кричала только «аль‑джебр», а теперь прибавила какую‑то алькула… альбума…

– Аль‑мукабалу, – подсказала Эф.

– Да, да, аль‑мукабалу!

– Так ведь это и есть противопоставление. То самое действие, о котором не успел рассказать Главный Весовщик.

– Что же здесь противопоставляется?

– Неизвестные – известным. Все иксы переносятся в левую часть уравнения, все свободные числа – в правую.

И тут мне невтерпеж стало. Восстановление, противопоставление… А где же составление? Когда мы до него доберемся?

И в эту самую минуту Эф сказала:

– Ну, теперь, пожалуй, можно бы перейти к составлению уравнений…

– Ура! – выпалил я.

Эф посмотрела на меня хитрыми глазами:

– А может, все‑таки решить еще одно?

Я даже зубами заскрипел: издевается она надо мной, что ли? Но сдержался. Если хочешь научиться терпению, приезжай в Аль‑Джебру, Нулик. Здесь из тебя сделают человека.

И мы пошли решать новое уравнение. Оно было какое‑то чудное: 4ах – 7с = b + с – 2ах.

– Ты что‑нибудь понимаешь? – спросил я у Тани вполголоса.

Зря спрашивал. Разве она сознается?

– Вас, наверное, смущает выражение 4ах? – сказала Эф. – Ничего особенного в нем нет. Икс – неизвестное, 4а – коэффициент при Иксе. Ведь под а можно подразумевать любое число. Скажем, семь. Тогда числовой коэффициент при Иксе равен: 4 * 7 = 28.

Вот и вся премудрость.

И опять регулировщица скомандовала: «Аль‑джебр! Аль‑мукабала!» – задвигались краны, и мы увидели вот что: 4ах + 2ах = b + с + 7с.

Потом она закричала: «Подобные, приведитесь!» – и вместо прежнего выражения появилось новое: 6ах = b + 8с.

Мы с интересом ждали, что же дальше? И дождались: x = (b + 8c) / 6a

– Дудки! – сказал я. – Какое же это решение? Маска с Икса нипочем не свалится.

Но маска все‑таки свалилась.

– Вы привыкли, что Икс равен числу, – улыбнулась Эф. – Но не забывайте, где вы находитесь. Ведь главный девиз Аль‑Джебры…

– Упрощение и обобщение! – сказали мы хором.

– Правильно. Вот в этом решении и собраны все возможные ответы при любых числовых значениях а, b и с. Замените буквы какими угодно числами, и вы убедитесь, что я права.

Вот, когда я наподставлялся в свое удовольствие! Это было так здорово, что ребята чуть не силком оттащили меня от этого занятия.

Мы пошли дальше. По дороге Таня все время ворчала:

– Несуразный ты человек! То покоя не давал – торопился составлять уравнения, а теперь, когда уже можно составлять, тебя отсюда калачом не выманишь!

Я, конечно, мог бы ей ответить как следует, но промолчал. Мужчина я или кто?

Сева.

 

У цели

(Олег – Нулику)

 

Да, Нулик, вот мы и у цели.

Эф привела нас на то самое место, где вырос и тут же разрушился воздушный замок. Помнишь, он нам еще так понравился?

– Теперь, – сказала Эф, – пора вам составлять уравнения. Подходите к любому Составителю. Каждый научит вас чему‑нибудь новому. Здесь составляются уравнения на все случаи жизни.

Ну и дела! Без уравнений теперь «и ни туды и ни сюды». Задумал построить мост – составляй уравнения, хочешь запустить космический корабль – составляй уравнения. И для атомного реактора, и для нефтяной скважины, и даже для того, чтобы сшить на фабрике ботинки, – для всего нужно сперва составить уравнения, решить их и только тогда приступать к делу. Это уж точно.

Мы тут наблюдали за многими Составителями. Чтобы написать про всех, надо гору бумаги. Поэтому я расскажу тебе о двух‑трех. На первый раз хватит.

Кроме Составителей, на этом строительстве много практикантов вроде нас.

Они тоже еще только учатся и потому часто попадают впросак. Но Составители на них не сердятся, а терпеливо разъясняют ошибки.

Один практикант строил стену из кирпичей. Положит несколько рядов, рассыплет и опять начнет. Мы слышали, как он сам с собой разговаривал:

– Так и через десять лет не построишь! Ну и задачка!

– Что это вы делаете? – спросила Таня.

– Стену строю, – вздохнул тот, – да вот ничего не получается.

– Наверное, потому, что вы не кладете цемента, – догадался Сева.

– Нет, цемент тут ни при чем.

Он протянул нам листок, где была написана такая задача: «Построить стену высотой в пять кирпичей так, чтобы в каждом следующем ряду было на два кирпича меньше, чем в предыдущем. При этом надо использовать 145 кирпичей».

– Разве это так трудно? – удивились мы.

– Еще бы! Ведь здесь не сказано, сколько кирпичей надо уложить в первом ряду. А без этого у меня ничего не получается. Положил 30 кирпичей. Тогда во втором надо уложить 28, в третьем – 26, в четвертом – 24, в пятом – 22. А 15 кирпичей остается! Попробовал положить в первый ряд 35 кирпичей, во второй – 33, и так далее. На пятый ряд кирпичей уже не хватило.

– Дайте‑ка мне попробовать! – попросил Сева.

Он положил в первый ряд 34 кирпича, во второй – 32… Дошел до пятого, – опять не хватило!

– Не угадаешь!

– А тут гадать не надо, – сказал незнакомый голос.

Это к нам подошел Составитель уравнений Тэ. Мы познакомились.

– Чем гадать, – продолжал он, – лучше составить уравнение. Обозначим неизвестное число кирпичей в первом ряду буквой икс. Сколько же в таком случае их будет во втором ряду, если там должно быть на два кирпича меньше, чем в первом?

– Конечно, х – 2, – сообразила Таня.

– Правильно. Тогда в следующем ряду будет х – 4, затем х – 6 и, наконец, в последнем, пятом ряду х – 8 кирпичей. Сколько же всего пойдет кирпичей на строительство?

– Сумма всех этих чисел, – подсказал Сева, –

х + (х – 2) + (х – 4) + (х – 6) + (х – 8).

– Верно. А так как все это вместе по условию равно ста сорока пяти, получим уравнение:

х + х – 2 + х – 4 + х – 6 + х – 8 = 145.

– Ну, теперь уж просто, – отмахнулся Сева. – Остается сказать: «Аль‑джебр! Аль‑мукабала!» Одна минута, и бульон готов!

– Нет, – возразил Составитель, – не готов! Вы забыли привести подобные члены в левой части уравнения.

Привели подобные. Получилось: 5х – 20 = 145.

– Вот теперь и в самом деле можно приступить к восстановлению.

Перенесли число минус 20 в правую сторону с обратным знаком. Вышло, что 5х= 165, а х=33.

Я забыл тебе сказать, что составляли и решали уравнение мы не на бумаге: нам помогали живые буквы и цифры. А как только уравнение было решено, расколдованный Икс помахал нам своей маской и убежал. Мы стали проверять ответ и построили стену. И все оказалось правильно: 33 + 31 + 29 + 27 + 25 = 145.

Потом мы увидели того самого карликана, который собирался рыть котлован для фундамента. Он стоял возле одного Составителя, и они решали его задачу. Мы подошли и стали помогать. Это уравнение оказалось посложней первого.

– Итак, – сказал Составитель, – у вас три экскаватора. Первый может вырыть котлован за четыре часа, второй – за три, третий – за двенадцать. Неважный, наверное, экскаватор. Вы хотите, чтобы все три работали одновременно. Конечно, так они выроют котлован быстрее. Но за какое время? Составим уравнение. Что примем за Икс?

– Время, за которое все три экскаватора выроют весь котлован, – предложил я.

– Верно. Давайте дальше.

Тут я, как назло, запнулся. Ни туда ни сюда.

– Ладно уж, – сказал Составитель, – придется помочь. Выясним, какую часть котлована выроет каждый экскаватор за один час? Для этого условимся, что объем всего котлована равен единице.

– И что из этого следует? – спросил Сева.

– А из этого следует, – догадался я, – что первый экскаватор за час выроет одну четверть котлована, второй – одну треть, третий – одну двенадцатую.

– Ну конечно! – обрадовался Составитель. – Какую же часть они выроют за час, если будут работать все вместе?

На этот раз ответил Сева:

– Вот какую: 1/4 + 1/3 + 1/12

– Молодец! А за икс часов?

– А за икс часов они выроют в икс раз больше, – сказала Таня. – Это и будет весь котлован, объем которого мы приняли за единицу.

Так у нас получилось уравнение: х(1/4 + 1/3 + 1/12) = 1.

Ну, а решить такое уравнение было уже совсем легко: 8/12х = 1.

Значит, Икс равен двенадцати восьмым, или х = 3/2.

Выходит, что три экскаватора, работая вместе, выроют котлован за полтора часа.

Неловко об этом говорить, но мне было очень приятно, когда маска с Икса упала и он стал нас благодарить.

Карликан заторопился к своим экскаваторам, а Составитель тут же предложил решить еще одну задачу, точно такую же, но… Что это за «но», ты сейчас поймешь.

– Признаться, надоели мне такие уравнения, – сказал Составитель, – слишком часто приходится их составлять. Везде идут стройки, везде роют котлованы. Пора бы уж сразу найти один ответ на все подобные вопросы. Ведь мы как‑никак живем в Аль‑Джебре…

– И потому должны упрощать и обобщать, – докончил Сева.

– Уж конечно! Не хотите ли вместе со мной вывести такое единое решение?

Мы молча кивнули, и Составитель начал:

– Так как экскаваторы бывают разных мощностей, то пусть первый из них роет котлован за а часов, второй – за b часов, ну а третий, допустим, за с часов. Спрашивается, за сколько часов выроют они котлован, если будут работать вместе?

– По‑моему, – сказал я, – решение должно быть таким же, как и в предыдущей задаче. Только та задача была в числах, а мы ее изобразим буквами. Снова примем за Икс число часов, необходимое, чтобы закончить работу, а всю работу – за единицу.

– Так‑так‑так, – подбадривал Составитель.

Теперь рассуждала Таня:

– Очевидно, первый экскаватор совершит за час 1/а часть работы. Это, наверное, читается так: одну атую часть работы?

– Хорошо, хорошо.

– Тогда второй, – сказал Сева, – за час совершит одну бэтую: – 1/b, а третий одну цэтую: 1/c часть работы. А все вместе они выроют за час сумму этих дробей; 1/a + 1/b + 1/c.

Теперь нетрудно составить уравнение, – ведь за икс часов они выполняют работу в икс раз большую: x(1/a + 1/b + 1/c).

И все это должно быть равно единице: x(1/a + 1/b + 1/c) = 1.

Вот вы и составили уравнение, – похвалил Составитель.

– Теперь приведем подобные, – сказал Сева. Вспомнил, наверное, как он недавно оплошал.

– Нет, – возразил Составитель, – здесь я не вижу никаких подобных. Просто надо сложить три дроби, которые стоят в скобках. Для этого приведем их к общему знаменателю и введем дополнительные множители у каждой дроби.

– Это мы знаем, – вмешалась Таня и тут же написала: 1/a + 1/b + 1/c = bc/abc + ac/abc + ab/abc = (bc + ac + ab)/abc, или x*(bc + ac + ab)/abc = 1

– Вот какой огромный коэффициент оказался у Икса! – заметил Сева. – С таким провожатым ничего не страшно.

– Что же остается сделать, чтобы найти Икс? – спросил Составитель.

– Разделить правую часть уравнения – единицу – на этот коэффициент, – ответила Таня.

х = 1:(x*(bc + ac + ab) / abc)

С этим она справилась быстро: x = abc/(bc + ac + ab)

Икс подошел к Тане и поклонился, помахав вместо шляпы черной маской. Д'Артаньян, да и только!

– Вот вам и уравнение, пригодное для любых трех экскаваторов, – сказал напоследок Составитель. – Может быть, хотите проверить?

Тут уж пришел на Севину улицу праздник. Подставлять – его любимое занятие. Вместо а, b и с он подставил числа из предыдущей задачи – 4, 3 и 12:

x = 4 * 3 * 12 / (3 * 12 + 4 * 12 + 4 * 3) = 144/96.

Сократил дробь и получил: x = 3/2.

– Упрощение и обобщение! Упрощение и обобщение! – приговаривал он, похлопывая себя по животу, словно только что съел что‑нибудь вкусное.

Потом он придумал другие числа, и опять другие. И каждый раз, вычислив Икс, выкрикивал те же слова и снова хлопал себя по животу. Забыл он, что ли, что теперь в самый раз разобраться в задаче зеленого стручка и попробовать составить уравнение самим?! Пришлось обратиться к талисману. В последнее время он что‑то совсем притих – лежит себе в кармане и помалкивает. Видно, не считает нужным вмешиваться. Я вынул его и поднес к самому Севиному носу. Увидев стручок, Сева снова хлопнул себя – на этот раз по лбу, – и через несколько минут мы уже сидели на скамейке в Парке Науки и Отдыха.

Ну вот и все пока. Наберись терпения и подожди следующего письма. Так всегда делают в журналах – прерывают рассказ на самом интересном месте и пишут: «Продолжение следует».

Олег.