Сложение стрел или векторов

Как я уже говорил ранее в этой главе, суперпозиция представляет собой особый вид сложения. Обычное сложение работает только с числами, рассматриваемыми как количества. Например, два яблока плюс одно яблоко будет три яблока. Но, как я уже показывал, используя суперпозицию, мы можем складывать волны. Часто бывает очень полезно выражать волны как стрелы или «векторы» (показывающие интенсивность и другие качества волн). Чтобы складывать стрелы, или векторы, или направления — наподобие “два фута прямо плюс один фут направо” — нам требуется нечто сверх обычного сложения. Теперь мы имеем уже не простые количества, а количества и направления или углы. Сложение стрел или (эквивалентных им) волн будет несложным. Но сперва позвольте мне дать определение векторов.

Вектор представляет собой стрелу, характеризующуюся данными длиной (или размером) и направлением. Например, сила, с которой вы что-либо тянете — это вектор. Сила имеет величину, например, 4 килограмма веса, и направление или угол, например, 45 градусов. Векторы полезны и при объяснении сил, действующих на лодку, и того, как она движется, когда на нее действуют две или более сил. Например, подумайте о том, как лодка движется по озеру (рис. 5.2), когда на нее действуют две силы: сила и направление течения воды, и сила и направление ветра. Если на рисунке течение толкает лодку направо, а ветер вверх, то направление лодки представляет собой сумму двух сил или стрел, представляющих течение и ветер.

(Рисунок 5.2. Направление лодки представляет собой сумму стрел ветра и воды. Надписи на рисунке: слева, снизу по часовой стрелке — ЛОДКА, Течение воды, Ветер; справа, снизу по часовой стрелке — Вода, Направление лодки, Ветер)

Легко найти сумму, но для того, чтобы это описать, требуется очень много слов. Чтобы найти сумму, отметьте звездочкой начальную точку. Определите направление течения воды. Затем положите на землю стрелу, представляющую направление и силу течения, как показано на рисунке. Узнайте направление и силу ветра, и положите на землю стрелу, длина которой представляет силу ветра. А потом соедините их, поместив начало стрелы ветра в конце стрелы течения, как показано справа внизу на рис. 5.2. Отметьте точку, в которой кончается стрела ветра, двумя звездочками. Сумма этих стрел ветра и течения представляет собой третью стрелу; это путь, по которому летела бы птица из начальной точки * в конечную точку **. (Помните геометрию? Если бы течение и ветер были бы направлены под прямым углом друг к другу, то конечное направление лодки было бы гипотенузой!)

В любом случае, в математике для таких стрел существует общее название «векторы». Слово «вектор» происходит от латинского слова «вектус», означающего «носитель». Я люблю векторы; используя их, я думаю о них, как мог бы думать ребенок — как о чем-то, что нас несет, как о силе или энергии.

Возвращаясь к лодке на озере — вы можете видеть, что конечное направление лодки представляет собой векторную сумму, или суперпозицию, всех действующих на нее сил или движений — в нашем случае, это означает силу течения воды и силу ветра. Векторное сложение наглядно; оно может давать вам интуитивное понимание ситуации. Этот изобразительный характер векторов составляет одну из причин, почему они используются в науке — они помогают объяснять обстоятельства дел. Квантовые физики, вроде Ричарда Фейнмана, использовали сходные диаграммы для понимания реальных и воображаемых направлений движения элементарных частиц в пространствах квантовой сферы (мы поговорим об этом подробнее в будущих главах).

В данный момент, я хочу использовать стрелы или векторы, чтобы делать более видимыми тонкие телесные ощущения и направления земли. Я буду говорить о стрелах, или направлениях, или векторах синонимически. На мой взгляд, направления носят отчасти «реальный» характер — как север, юг, восток, и запад, и отчасти воображаемый — как ваше подобное сновидению чувство того, куда «влечет» вещи.[53]По моему, направления частично организуются физическими силами, наподобие магнетизма и гравитации, а частично — духовными переживаниями, основывающимися на чувстве земли, как, например Бабушки и Дедушки, которых американские индейцы отождествляли с четырьмя сторонами света.

В любом случае, то, куда нас влечет, представляет собой сумму наших параллельных миров. Суперпозицию любых двух или более миров, сил, и векторов — как бы вы их ни называли — можно производить, рисуя одну стрелу, затем рисуя еще одну, начинающуюся в конечной точке первой, и т. д. Чтобы сложить их, вернитесь к началу, и проведите линию от начальной точки первой стрелы до самого конца последней стрелы. Эта информация снова понадобится нам в конце главы для создания нового метода работы со сновидениями.