Лабораторна робота № 28

 

ВИЗНАЧЕННЯ ВІДНОШЕННЯ ТЕПЛОЄМНОСТЕЙ ПОВІТРЯ ЗА СТА­ЛИХ ТИСКУ Й ОБ'ЄМУ РЕЗОНАНСНИМ МЕТОДОМ

 

Мета роботи:вивчення процесу поширення звукової хвилі, вимірю­вання швидкості звуку у повітрі за різних температур та визначення відношеннятеплоємностей .

Обладнання:експериментальна установка ФПТ 1-7.

Теоретичні відомості

Пружними хвилями називають механічні збурення, які поширюються у пружному середовищі. Нехай вздовж однорідного циліндричного зразка з пло­щею поперечного перерізу S поширюється пружна поздовжня хвиля. Отже, раз­ом із швидкістю υ поширюється відносна деформація (рис. 28.1). Виділи­вши деяку частину зразка, знайдемо густину недеформованого середовища:

, (28.1)

 

де l - довжина виділеної частини зразка.

 

 

 

Рисунок 28.1 - Схема поширення збурення вздовж однорідного зразка

Стисканню відповідає збільшення густини, отже, густина в області стискання

 

. (28.2)

 

Тут ми врахували, що площа поперечного перерізу S зразка не змінюється при поширенні поздовжньої хвилі. У формулі (28.2) помножимо чисельник і знаменник на величину (l + Δl):

 

.

 

Враховуючи, що Δl ² <<l ², отримаємо:

 

.

 

Звідси, враховуючи формулу (28.1), маємо

 

або

Δρ = ρε;. (28.3)

 

Поширення збурення являє собою рух області стискання із швидкістю υ вздовж зразка. За проміжок часу dt через поперечний переріз пройде ділянка сти­скання довжиною dx = υdt. Маса цієї ділянки dm=Δρ·S·dx або, враховуючи (28.3), dm=ρ·ε·S·υ·dt.

Маса dm рухається зі швидкістю υ; і має імпульс υ·dm = ρ·ε·S·υ;² ·dt. Записуючи силу пружності за законом Гука, отримаємо

, (28.4)

 

де Е – модуль пружності, звідки

 

F = E · ε · S.

 

З міна імпульсу маси dm (оскільки до проходження збурювання ця маса пере­бувала у спокої) за другим законом Ньютона дорівнює добуткові діючої на неї сили пружності і часу її дії.

Отже

F·dt = ρ· ε · S · υ² · dt

або

E · ε · S · dt= ρ· ε · S · υ² · dt,

 

звідки

і швидкість поширення поздовжньої пружної хвилі

 

. (28.5)

 

Якщо пружна хвиля поширюється у газі, який міститься у гладенькій прямолінійній трубі зі сталим поперечним перерізом, то враховуючи, що на від­міну від твердих тіл гази не чинять опору зсуву, в них можуть виникати тільки поздовжні хвилі, і, отже, швидкість поширення пружної хвилі в газі може обчис­люватись за формулою (28.5). Визначимо величину Е для газу. Якщо за дії сили F на деякий об'єм газу тиск у ньому одержить приріст ΔР по відношенню до тиску газу Р в незбуреному стані, то за аналогією з (28.4)

 

.

 

Вважаючи зміни тиску dP і об'єму dV нескінченно малими, можна записати, що

 

, (28.6)

 

де знак мінус означає, що збільшення тиску відповідає зменшенню об'єму.

Нехай у газі поширюється звукова хвиля, яка являє собою пружну хвилю малої інтенсивності, здатну викликати відчуття звуку, з частотою від 16 до 20000 Гц. Коливання густини у звуковій хвилі відбуваються так швидко, що теп­лообмін між шарами газу, які мають різні температури, не встигає відбутися. То­му процес поширення звукової хвилі в газі можна вважати адіабатичним і до ньо­го можна застосувати рівняння Пуассона (28.11). Диференціюючи це рівняння, отримаємо

 

V ^γ · dP + γ · P · V ^γ-1 · dV = 0,

звідки

. (28.7)

 

З (28.6) і (28.7) знайдемо

 

E = γ · P. (28.8)

 

Визначивши Р з рівняння Клапейрона-Менделєєва і враховуючи, що густина газу , отримаємо

.

Підставимо значення Р у (28.8), тоді

 

. (28.9)

 

Підставивши співвідношення (28.9) у формулу (28.5), матимемо формулу Лапласа для розрахунку швидкості звуку в газі:

, (28.10)

 

з якої

. (28.11)

 

Таким чином, для визначення відношення теплоємностей газу γ достат­ньо виміряти його температуру Т та швидкість поширення звуку υ; у цьому газі.

Швидкість звуку за даної температури може бути визначена резонансним методом. Під час поширення хвилі вздовж закритого каналу, вона багаторазово відбивається від торців, і звукові коливання в каналі є результатом накладання цих відбитих хвиль. Якщо довжина каналу L дорівнює цілому числу півхвиль (n - будь-яке ціле число, λ - довжина хвилі), то хвиля, відбита від торця каналу, повернувшись до його початку і знову відбиваючись, збігається по фазі з прямою хвилею. Такі хвилі підсилюють одна одну, амплітуда коливань при цьому різко зростає - настає резонанс. Під час звукових коливань шари газу, при­леглі до торців каналу, не зазнають зміщення. У цих місцях утворяться вузли зміщення, які повторюються через λ/2 по всій довжині каналу. Між вузлами знаходяться максимуми зміщення (пучності). Швидкість звуку υ; зв'язана з часто­тою коливань v і довжиною хвилі λ співвідношенням υ=λv, з урахуванням якого умову резонансу можна записати у вигляді

 

2 · L · v ₀ = n · υ, (28.12)

 

де v ₀ - резонансна частота.

Залежність (28.12) резонансної частоти від числа п може бути перевірена експериментально. Змінюючи частоту коливань за сталої довжини каналу, необхідно побудувати графік залежності v ₀ = f(п), за кутовим коефіцієнтом якого визначається швидкість звуку.