Метод Гаусса

На практиці використовують метод послідовного виключення невідомих або метод Гаусса, суть якого в наступному. На першому кроці виключають одне із невідомих з цих рівнянь, крім одного. На другому кроці виключають ще одне невідоме з рівнянь, в яких вже виключене одне невідоме на першому кроці, і теж крім одного рівняння. Цей процес послідовного виключення невідомих продовжують доти, поки не дістанемо одне лінійне рівняння з одним невідомим. Це є прямий хід методу Гаусса.

 

 

Теорема Кронекера-Капеллі. Для того щоб система лінійних рівнянь була спільна, необхідно і достатньо, щоб ранг матриці системи дорівнював рангу її розширеної матриці.

 

Якщо при цьому ранг дорівнює числу невідомих, то система має єдине рішення, якщо він менше числа невідомих, рішень-безліч.

 

ЕЛЕМЕНТИ ВЕКТОРНОЇ АЛГЕБРИ

Вектором називається напрямлений відрізок прямої.

Початок вектора називається точкою прикладання вектора.

Вектор, в якого початок і кінець збігаються, називається нульовим вектором або нуль-вектором, його позначають символом .

Вектори, що лежать на одній прямій або на паралельних прямих, називаються колінеарними. Якщо вектори а і b колінеарні, то це позначається так: а || b.

Вектори, що лежать в одній площині або в паралельних площинах, називаються компланарними.

Два вектори називаються рівними, якщо вони мають однакові модулі, колінеарні і однаково напрямлені.

Якщо два вектори мають однакові модулі, колінеарні і протилежно напрямлені, то такі вектори називаються протилежними.

Ортом вектора називається вектор, який однаково напрямлений з даним вектором і має модуль, що дорівнює одиниці. Орт вектора а позначається а ˚.

Лінійні операції над векторами

До цих операцій відносяться додавання і віднімання векторів та множення вектора на число.

Означення. Сумою двох векторів а і b називається третій вектор с, що з’єднує початок першого вектора а з кінцем другого вектора b за умови, що початок другого вектора збігається з кінцем першого (рис. 2.3).

Сума векторів а і b позначається символом с = а + b.

Зауваження. Додавання трьох і більше векторів a, b, c, d, … здійснюється послідовно: спочатку додають за правилом трикутника перший вектор а з другим вектором b, потім до їх суми а + b додають третій вектор с, потім до суми а + b + с додають четвертий вектор d і т.д.

Означення. Різницею векторів а і b називається такий вектор с, який в сумі з вектором b дає вектор а.

Означення. Добутком вектора а на число α називається вектор b, який задовольняє такі умови:

1) модуль вектора b дорівнює добутку модуля вектора а на абсолютну величину числа α, тобто │ b │=│ α;│∙│ а │; (2.3)

2) вектор b колінеарний вектору а;

3) вектор b однаково напрямлений з вектором а, якщо число α додатне, і протилежно напрямлений з вектором а, якщо число α від’ємне.

Операція множення вектора на число підпорядковане таким властивостям:

1) α; (а + b) = α а + α b – розподільний закон;

2) (α + β;) а = α а + β а – розподільний закон;

3) α;(β а) = (αβ;) а – сполучний закон;

4) 0 · а = 0; α · 0 = 0.

5) 1· а = а і (–1) · а = – а; вектор – а є протилежний вектору а.

Ці властивості безпосередньо випливають з означення. Зауважимо, що дія ділення вектора на скаляр α визначається як множення вектора а на обернене число .

Теорема (про колінеарні вектори). Для того щоб вектори а і b були колінеарними, необхідно і достатньо, щоб виконувалась рівність

b = λ а,(2.4)

де λ; – деяке число.

Доведення. Достатність. Якщо виконується рівність b = λ а, то з означення дії множення вектора а на число λ; (з другої умови) випливає, що b || а.

Необхідність. Нехай ненульові вектори а і b колінеарні. Це означає, що ці вектори можуть відрізнятися лише довжинами, маючи однакові або протилежні напрямки. Якщо вектори а і b однаково напрямлені, то число λ = і b = а, якщо вектори а і b мають протилежні напрями, то число λ; від’ємне і λ = – , тоді b = – а.

Зауваження. Якщо помножити орт вектора на модуль вектора, то дістанемо сам вектор, тобто

а = · а ⁰, (2.5)

звідки а ⁰ = .

Означення. Лінійною комбінацією векторів a ₁, a ₂,..., a _n називається вектор b, що визначається рівністю

b = α;₁ a ₁+ α;₂ a ₂+...+ α_n a _n,

Означення. Вектори a ₁, a ₂,..., a _n називаються лінійно залежними, якщо знайдуться числа α;₁, α;₂,..., α_n, серед яких хоч би одне відмінне від нуля, такі, що виконується рівність

α;₁ a ₁+ α;₂ a ₂ +...+ α_n a _n= 0,(2.7)

тобто нульова лінійна комбінація можлива за умови, коли не всі її коефіцієнти дорівнюють нулю.

Означення. Вектори a ₁, a ₂,..., a _n називаються лінійно незалежними, якщо їх лінійна комбінація α;₁ a ₁ + α;₂ a ₂ +...+ α_n a _n дорівнює нульовому вектору лише в тому випадку, коли всі її коефіцієнти дорівнюють нулю, тобто за умови, що виконується рівність α;₁² + α;₂² +...+ α_n ² = 0.

Теорема. Якщо вектори a ₁, a ₂,..., a _n лінійно залежні, то хоч би один із них буде лінійною комбінацією решти векторів.

Отже, всякі два колінеарні вектори є лінійно залежними, а всякі два неколінеарні вектори є лінійно незалежними.

Теорема 3. (про розкладання вектора за двома неколінеарними векторами). Якщо вектори е ₁ і е ₂ неколінеарні, то будь-який компланарний з ними вектор а єдиним способом може бути розкладений за векторами е ₁ і е ₂.

Доведення. Нехай вектори е ₁ і е ₂ неколінеарні і нехай задано довільний вектор а, компланарний з ними. Приведемо всі ці три вектори е₁, е ₂ і а до спільного початку. Спільну точку прикладання цих векторів позначимо через О, тоді згідно з означенням компланарних векторів, всі ці три вектори будуть розташовані в одній площині. Через кінець вектора а точку А проведемо прямі, паралельні з векторами е ₁ і е ₂, до перетину з прямими, на яких знаходяться відповідні вектори е ₁ і е ₂. Точки перетину, які існуватимуть, бо е ₁ і е ₂ неколінеарні, позначимо відповідно А ₁ і А ₂.

Фігура ОА ₁ А А ₂ – паралелограм. Розглянемо вектори і , які є сторонами паралелограма. Тоді за правилом паралелограма вектор а = дорівнюватиме сумі векторів і , тобто а = + .

Але || е ₁, тоді існує цілком певне число α;₁ таке, що = α;₁ е ₁ за теоремою про колінеарні вектори. Аналогічно оскільки вектори і е ₂ колінеарні, то існує певне число α;₂ таке, що = α;₂ е ₂. Тоді попередня рівність запишеться так:

а = α;₁ е ₁ + α;₂ е ₂, (2.8)

тобто вектор а розкладено за векторами е ₁ і е ₂ і це розкладання єдине, бо точки А ₁ і А ₂ визначаються однозначно і відповідні числа α;₁ і α;₂ визначаються однозначно. Теорему доведено.

Якщо три ненульові вектори лінійно залежні, то вони компланарні.

Означення. Кажуть, що упорядкована трійка лінійно незалежних векторів е ₁, е ₂, е ₃ утворює базис у просторі, якщо будь-який вектор а простору можна подати у вигляді деякої лінійної комбінації векторів е ₁, е ₂ і е ₃.

Зауваження. Важливим на практиці є випадок, коли базисні вектори взаємно перпендикулярні і одиничні. Такий базис в просторі називається декартовим. Базисні вектори декартового базису позначаються так: i, j, k. Отже, | i | = | j | = | k | = 1 і i j, i k, j k. Рене Декарт

5 .Проекція вектора на вісь

Означення. Числовою віссю називається пряма, на якій вибрано початкову точку О, вказано додатний напрям та одиничний відрізок, так звану одиницю масштабу.

Нехай l – деяка числова вісь і задано деякий вектор = а. Через i позначимо проекції на цю вісь початкової точки А і кінцевої точки В вектора а, які є точками перетину з віссю l площин, що проходятьчерез точки А і В перпендикулярно осі l. Нехай х ₁ –координата точки , а х ₂ – координата точки , які лежать на самій осі. Розглянемо число х ₂ – х ₁, його і назвемо проекцією вектора а на вісь l.

Означення. Різниця х ₂ – х ₁ між координатами проекцій на вісь l кінця і початку вектора а називається проекцією вектора а на вісь l і позначають символомпр _l а або пр _l .

Зауваження. Якщо через φ позначити величину кута між вектором а і віссю l, то дістанемо рівність пр _l а =| а | соs φ. АВ=а А’С=|a|

= соsφ;.

Якщо кут φ; – гострий, то соs φ > 0 і пр _l а є число додатне, що узгоджується з тим, що х ₂ – х ₁> 0; якщо ж кут φ; – тупий, то соs φ; < 0 і пр _l а є число від’ємне, що відповідає тому, що х ₂ – х ₁< 0, бо х ₂< х ₁.

 

6.

Означення. Скалярним добутком двох векторів називається число, що дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними.

Скалярний добуток двох векторів а і b позначається символом а · b або () або (а, b).

Отже, за означенням скалярного добутку маємо:

а · b = | а |·| b | cоsφ;, (2.22)

де φ; – кут між векторами а і b або φ; = (а,^ b).

– кут між векторами а і b або φ; = (а,^ b).

Такий вид множення двох векторів використовується у фізиці та інших навчальних дисциплінах. Така операція використовується в механіці при визначенні роботи, що виконується сталою силою F при переміщенні точки прикладання сили на деякий вектор переміщення s. Як відомо, шукана робота А дорівнює чисельно добутку складової цієї сили на вектор переміщення F_S, помноженій на модуль вектора переміщення, тобто А = F_S ·| s |. Оскільки F_S = | F | cosφ;, де φ; – кут між вектором сили F і вектором переміщення s, то будемо мати: А =| F |·| s | cosφ;

Для того, щоб два ненульові вектори були перпендикулярні(ортогональні), необхідно і достатньо, щоб їх скалярний добуток дорівнював нулю.

7.

Означення. Векторним добутком двох векторів аіb називається вектор с, який задовольняє такі три умови:

1) модуль вектора с дорівнює добутку модулів векторів а і b на синус кута між ними; тобто

| с | = | а |·| b |· sinφ;,

де φ; – кут між векторами а і b;

2) вектор с перпендикулярний до кожного із векторів а і b;

3) вектор с напрямлений так, що коли дивитьсь з його кінця, то поворот від вектора а до вектора b по найкоротшому шляху повинен здійснюватися проти руху годинникової стрілки, якщо всі вектори привести до спільної точки прикладання.

В цьому випадку кажуть, що трійка векторів а, b і с є правою трійкою.

Векторний добуток векторів а і b позначається символом а b або [ а, b ].

Отже, виходячи з означення, маємо

| а b | = | а |·| b |· sinφ;,

 

S_{трикутника} = | а |·| b | = | а |·| b |· sinφ;.

1º;. Векторний добуток колінеарних векторів дорівнює нулю. Це очевидно, бо якщо а || b, то φ; = 0 або φ; = π;, тоді sinφ; = 0.

(Два вектори називаються колінеа́рними, якщо вони лежать на паралельних прямих або на одній прямій. Колінеарні вектори можуть бути співнаправленими чи протилежно направленими.Колінеарні вектори мають однаковий коефіцієнт пропорційності)

2º;. При перестановці множників векторний добуток змінює знак на протилежний, тобто

а b = – (b а).

8-9.

Означення. Мішаним добутком трьох векторів а, b і с називається число, що дорівнює векторному добутку перших двох векторів, помноженому скалярно на третій вектор с.

Отже, модуль мішаного добутку трьох некомпланарних векторів чисельно дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на цих векторах як на ребрах.

З цього твердження випливає така властивість мішаного добутку трьох векторів.

Три ненульові вектори а, b і с компланарні тоді і тільки тоді, коли їх мішаний добуток дорівнює нулю.

Необхідність. Якщо вектори а, b і с компланарні, то вектор d = а b, який є перпендикулярний до площини, яка утворюється векторами а і b, буде перпендикулярний і до вектора с, а тому скалярний добуток d·с = 0, тобто (а b)· с = 0, що і треба було довести.

 

Означення. Рівнянням лінії (L) на координатній площині хОу називається рівність F (x, y)=0, яку задовольняють координати будь-якої точки, що лежить на цій лінії, і не задовольняють координати жодної точки, що не лежить на цій лінії.

Рівняння y=kx+b називається рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом. Число b – цеордината точки перетину прямоїз віссю О у.

tg =k

Канонічне рівняння прямої

. (m,n координати параллельного вектора до вектора з початком координат у точці M0)

 

Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки

Загальне рівняння прямої

Теорема. Всяке рівняння першого степеня з двома змінними Ах+Ву+С= 0, де А,В і С – задані числа, визначає на площині деяку пряму, причому вектор N = (A;B) є перпендикулярним до неї.

Рівняння Ах + Ву + С = 0 називається загальним рівнянням прямої, його коефіцієнти числа А і В є координатами її нормального вектора.