Доведення

Якщо В 0, то із рівняння Ах+Ву+С= 0 випливає, що Ву= –Ах–С; . Я кщо ввести позначення і , то останнє рівняння прийме вигляд у=kx+b. Але ж це рівняння є рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом.

2. Якщо В = 0, то рівняння Ах+Ву+С= 0 прийме вигляд

Ах+С= 0, звідки або х = а,де . А рівняння х = а, як відомо, визначає пряму, паралельну осі Оу.

3. Доведемо нарешті, що вектор N = (A; B) перпендикулярний цій прямій, тобто є нормальним вектором цієї прямої. Виберемо на цій прямій дві довільні точки M ₁ (x ₁; y ₁) і M ₂ (x ₂; y ₂). Тоді координати цих точок задовольняють рівняння Ax + By + C =0, тобто справедливі рівності
Ах ₁+ Ву ₁+ С =0 і Ах ₂+ Ву ₂+ С =0. Віднімемо від другої рівності першу, дістанемо: А (х ₂ – х ₁)+ В (у ₂ –у ₁)=0. Це означає, що вектори N =(A;B) і

s = (х ₂ – х ₁; у ₂ – у ₁) є перпендикулярні, бо останню рівність можна записати так: N × s =0, звідки маємо, що N s, але ж s лежить на даній прямій, тоді вектор N, будучи перпендикулярним до вектора , перпендикулярний і до самої прямої. Теорему повністю доведено.

 

 

 

Кут між двома прямими

А ₁ х + В ₁ у + С ₁=0 і А ₂ х + В ₂ у + С ₂=0, то кут між прямими дорівнює куту між їх нормальними векторами N ₁= (A ₁; B ₁) і N ₂= (A ₂; B ₂) як кути із взаємно перпендикулярними сторонами. Отже, шуканий кут j визначається за формулою:

= . Без точки С

Умовою паралельності прямих є рівність , умовою перпендикулярності двох прямих є рівність А ₁ А ₂ +В ₁ В ₂ = 0.

також .

Дві прямі паралельні тоді і тільки тоді, коли їх кутові коефіцієнти рівні, тобто k₁= k₂.

Дві прямі перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їх кутові коефіцієнти задовольняють умову 1 +k ₁ k ₂ = 0, тобто k ₂= –1/ k ₁.

Відстань від точки до прямої

або

 

10.

Векторне і загальне рівняння площини

В координатній формі це рівняння запишеться так:

А (x– х ₀)+ В (у – у ₀)+ С (z – z ₀)=0.

 

Положення площини відносно прямокутної системи координат О хуz повністю визначається деякою точкою М ₀(х ₀; у ₀; z ₀) на площині і вектором N, який перпендикулярний до цієї площини. Вектор N, перпендикулярний до площини, називається нормальним вектором площини.

якщо вектор N = (A, B, C) є нормальним вектором площини, то її рівняння має вигляд Aх + By + Cz + D = 0.

 

Кут між площинами.

Умови паралельності і перпендикулярності двох площин.

А ₁ x + В ₁ y + С ₁ z + D ₁=0 і А ₂ x + В ₂ y + С ₂ z + D ₂=0. Знайдемо кут φ; між цими площинами. Цей двогранний кут, що утворюється цими площинами, вимірюється лінійним кутом φ;, що дорівнює куту між нормальними векторами N ₁ =(A ₁, B ₁, C ₁) і N ₂ =(A ₂, B ₂, C ₂) як кути з відповідно перпендикулярними сторонами, який знайдемо за формулою

cosφ;= = .

Якщо дві площини паралельні, то їх нормальні вектори колінеарні, а тому їх координати пропорційні .

Якщо дві площини перпендикулярні, то N ₁ ^ N ₂ і дістанемо умову перпендикулярності двох площин:

A ₁ A ₂+ B ₁ B ₂+ C ₁ C ₂ = 0.

Кут між двома прямими

А ₁ х + В ₁ у + С ₁=0 і А ₂ х + В ₂ у + С ₂=0, то кут між прямими дорівнює куту між їх нормальними векторами N ₁= (A ₁; B ₁) і N ₂= (A ₂; B ₂) як кути із взаємно перпендикулярними сторонами. Отже, шуканий кут j визначається за формулою:

=

Умовою паралельності прямих є рівність , умовою перпендикулярності двох прямих є рівність А ₁ А ₂ +В ₁ В ₂ = 0.

 

 

також формула кута .

Дві прямі паралельні тоді і тільки тоді, коли їх кутові коефіцієнти рівні, тобто k₁= k₂.

Дві прямі перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їх кутові коефіцієнти задовольняють умову 1 +k ₁ k ₂ = 0, тобто k ₂= –1/ k ₁.

 

 

Кут між прямою та площиною

Означення. Кутом між прямою і площиною називається кут між цією прямою і її проекцією на площину

 

 

 

Нехай задана площина загальним рівнянням і пряма канонічними рівняннями

Оскільки нормальний вектор площини N перпендику-лярний до площини, а напрямний вектор прямої s паралельний прямій, то умова перпендикулярності прямої до площини полягає в тому, що N || s, тобто

Пряма паралельна площині, якщо N ^ s, тобто коли

 

Відстань від точки до прямої

або

Відстань від точки до площини

Нехай задана площина своїм загальним рівнянням

=0 і деяка точка поза площиною. Тоді відстань d від цієї точки до площини визначається за формулою

. (3.22)

де A, B і C є координатами нормального вектора площини, якщо замість біжучих координат підставити координати даної точки .

 

11.

 

Криві другого порядку

Важливим є випадок, коли лінія в декартовій системі координат 0 ху описується рівнянням другого степеня з двома змінними, яке в загальному

вигляді можна записати так:

де А, В, С, D, E, F – задані числа, а х і у – змінні.

Такі лінії називаються кривими другого порядку. До них відносяться коло, еліпс, гіпербола і парабола.

 

1.Рівняння кола

Нагадаємо, що колом називається множина всіх точок площини, рівновіддалених від даної точки, що називається центром кола. Виберемо

на колі біжучу точку М (х; у). Розглянемо вектор За означенням кола Оскільки

то матимемо

звідки (3.31)

Це і є шукане рівняння кола.

Звернемо увагу на те, що, якщо в рівнянні (3.31) розкрити дужки, то дістанемо рівняння Звідси видно, що старші коефіцієнти (коефіцієнти при других степенях змінних) рівні між собою, відсутній член з добутком змінних координат. Це є ознакою, що рівняння 2-го степеня з двома змінними описує коло.

Еліпс

Означення. Еліпсом називається множина точок площини, сума відстаней яких від двох даних точок цієї самої площини, що називається фокусами еліпса, є величиною сталою і більшою, ніж відстань між фокусами.

. Рівняння) називається канонічним рівнянням еліпса

фокальні радіуси =(R₁) _і =(R₂)

, .

Тоді рівність запишеться так:

.

З канонічного рівняння еліпса випливає ряд властивостей еліпса.

1º. Координатні осі є осями симетрії, а точка О перетин осей симетрії є центром симетрії еліпса. Це випливає із того, що біжучі координати і входять у парних степенях, тому якщо точка належить еліпсу, то точки , , теж належать еліпсу.

2º. Точками перетину еліпса з осями симетрії є точки , , , . Ці точки називаються вершинами еліпса.

Це випливає з того, що при , а при . Величини і називаються відповідно великою і малою осями еліпса, а і – півосями еліпса.

3º. Еліпс є обмеженою лінією. Це випливає із того, що і , звідки і , звідки маємо, що , .

4º. Якщо в рівнянні еліпса півосі збігаються, тобто , то дістанемо рівняння кола з центром в початку координат і радіусом .

Оскільки для еліпса , то при маємо, що . Таким чином, коло – це еліпс, в якого фокуси збігаються з центром еліпса.

Для характеристики еліпса вводять числову характеристику, якою є відношення півфокусної відстані до великої півосі, тобто , це число називається ексцентриситетом еліпса. Це число характеризує відхилення еліпса від кола, степінь „витягнутості” еліпса. Для кола , а для еліпса .

 

Гіпербола